《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024辽宁大连三校一模,4)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为 ( )
A. $x^{2}+y^{2}=4$
B. $(x - 2)^{2}+y^{2}=8$
C. $(x - 1)^{2}+y^{2}=5$
D. $(x - 2)^{2}+y^{2}=10$

答案： D 设圆的圆心为$(a,0)$，半径为$r$，
则有$\begin{cases}(-1 - a)^{2}+1 = r^{2},\\(1 - a)^{2}+9 = r^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\r=\sqrt{10},\end{cases}$
故圆的方程为$(x - 2)^{2}+y^{2}=10$. 故选 D.

2. (2024山东泰安一轮检测,3)在平面内,M,N是两个定点,P是动点,若$\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{NP}=4$,则点P的轨迹为 ( )
A. 椭圆
B. 抛物线
C. 直线
D. 圆

答案：
D 如图建立平面直角坐标系，
由$M$，$N$是两个定点，不妨设$M(-c,0)$，$N(c,0)$，设$P(x,y)$，
则$\overrightarrow{MP}=(x + c,y)$，$\overrightarrow{NP}=(x - c,y)$.
由$\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{NP}=4$可得$(x + c)(x - c)+y^{2}=4$，即$x^{2}+y^{2}=4 + c^{2}$. 所以点$P$的轨迹为圆. 故选 D.

解题技巧：合理建坐标系，设出$M$，$N$两点坐标，是解本题的关键.

3. (2024广东一模,4)过A(-1,0),B(0,3),C(9,0)三点的圆与y轴交于M,N两点,则|MN| = ( )
A. 3
B. 4
C. 8
D. 6

答案： D 设圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0(D^{2}+E^{2}-4F\gt0)$，
则$\begin{cases}1 - D+F = 0,\\9 + 3E+F = 0,\\81 + 9D+F = 0,\end{cases}$所以$\begin{cases}D=-8,\\E = 0,\\F=-9,\end{cases}$
则圆的方程为$x^{2}+y^{2}-8x - 9 = 0$，即$(x - 4)^{2}+y^{2}=25$，圆心到$y$轴距离为$4$，所以$|MN|=2\times\sqrt{25 - 16}=6$，故选 D.

4. (2024广东广州天河二模,6)若直线$ax + by = 1$与圆$O:x^{2}+y^{2}=1$相切,则圆$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=\frac{1}{4}$与圆O ( )
A. 外切
B. 相交
C. 内切
D. 没有公共点

答案： B 直线$ax + by = 1$与圆$O:x^{2}+y^{2}=1$相切，
则圆心$O(0,0)$到直线$ax + by = 1$的距离等于圆$O$的半径$1$，
即$d=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=1$，得$a^{2}+b^{2}=1$.
圆$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=\frac{1}{4}$的圆心坐标为$(a,b)$，半径为$\frac{1}{2}$，
其圆心在圆$O$上，所以两圆相交. 故选 B.

5. (2024云南昆明一中、宁夏银川一中联考,5)过点P(-2,0)作圆$C:x^{2}+y^{2}-4x - 4 = 0$的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积为 ( )
A. 4
B. $4\sqrt{2}$
C. 8
D. $8\sqrt{2}$

答案： C 由$x^{2}+y^{2}-4x - 4 = 0$，得$(x - 2)^{2}+y^{2}=8$，则圆心为$C(2,0)$，半径$r = 2\sqrt{2}$，又$|PC| = 4$，则$|PB|=\sqrt{16 - 8}=2\sqrt{2}$，
则四边形$PACB$的面积为$2S_{\triangle PBC}=2\times\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=8$.
故选 C.

6. (2024贵州六校联盟联考(三),7)过点A(-6,-8)的直线l与圆$C:x^{2}+y^{2}=9$相交于不同的两点M,N,则线段MN的中点P的轨迹是 ( )
A. 一个半径为10的圆的一部分
B. 一个焦距为10的椭圆的一部分
C. 一条过原点的线段
D. 一个半径为5的圆的一部分

答案： D 设$P(x,y)$，根据线段$MN$的中点为$P$，得$CP\perp MN$，
即$CP\perp AP$，所以$\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AP}=0$，
又$A(-6,-8)$，$C(0,0)$，则$\overrightarrow{AP}=(x + 6,y + 8)$，$\overrightarrow{CP}=(x,y)$，
所以$x(x + 6)+y(y + 8)=0$，即$(x + 3)^{2}+(y + 4)^{2}=25$，
所以点$P$的轨迹是以$(-3,-4)$为圆心，$5$为半径的圆在圆$C$内的一部分. 故选 D.

7. (2024山东济南一中等校阶段性检测,5)已知P是圆$O:x^{2}+y^{2}=9$上的动点,点Q满足$\overrightarrow{PQ}=(3,-4)$,点A(1,1),则|AQ|的最大值为 ( )
A. 8
B. 9
C. $\sqrt{29}+3$
D. $\sqrt{30}+3$

答案： C 设$Q(x,y)$，$P(x_{0},y_{0})$，
由$\overrightarrow{PQ}=(x - x_{0},y - y_{0})=(3,-4)$，得$x_{0}=x - 3$，$y_{0}=y + 4$，
因为点$P$在圆$O$上，所以$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=9$，
即$(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=9$，
所以点$Q$的轨迹是以$(3,-4)$为圆心，$3$为半径的圆，
由$A(1,1)$，知$(1 - 3)^{2}+(1 + 4)^{2}=29\gt9$，所以点$A$在该圆外，
所以$|AQ|$的最大值为$\sqrt{(1 - 3)^{2}+(1 + 4)^{2}}+3=\sqrt{29}+3$.
故选 C.

8. (多选)(2024黑龙江齐齐哈尔一模,9)已知圆$C_{1}:(x - 3)^{2}+y^{2}=1,C_{2}:x^{2}+(y - a)^{2}=16$,则下列结论正确的有 ( )
A. 若圆$C_{1}$和圆$C_{2}$外离,则$a＞4$
B. 若圆$C_{1}$和圆$C_{2}$外切,则$a=\pm4$
C. 当$a = 0$时,圆$C_{1}$和圆$C_{2}$有且仅有一条公切线
D. 当$a=-2$时,圆$C_{1}$和圆$C_{2}$相交

答案： BCD 由题知，$C_{1}(3,0)$，$C_{2}(0,a)$，$|C_{1}C_{2}|=\sqrt{9 + a^{2}}$，$r_{1}=1$，$r_{2}=4$.
若$C_{1}$和$C_{2}$外离，则$|C_{1}C_{2}|=\sqrt{9 + a^{2}}\gt r_{1}+r_{2}=5$，解得$a\gt4$或$a\lt - 4$，故 A 错误；
若$C_{1}$和$C_{2}$外切，则$|C_{1}C_{2}|=\sqrt{9 + a^{2}}=5$，解得$a=\pm4$，故 B 正确；
当$a = 0$时，$|C_{1}C_{2}|=3=r_{2}-r_{1}$，则$C_{1}$和$C_{2}$内切，所以圆$C_{1}$和圆$C_{2}$有且仅有一条公切线，故 C 正确；
当$a=-2$时，$3\lt|C_{1}C_{2}|=\sqrt{13}\lt5$，则$C_{1}$和$C_{2}$相交，故 D 正确.
故选 BCD.

9. (多选)(2024湖南邵阳第一次联考,9)设点P(x,y)为圆$C:x^{2}+y^{2}=1$上一点,已知点A(4,0),B(5,0),则下列结论正确的有 ( )
A. $x + y$的最大值为$\sqrt{2}$
B. $x^{2}+y^{2}-4x - 4y$的最小值为 8
C. 存在点P,使得|PB| = $\sqrt{2}$|PA|
D. 过A点作圆C的切线,则切线长为$\sqrt{15}$

答案： AD 因为$P(x,y)$在圆上，所以设$x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$.
$x + y=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\leq\sqrt{2}$，故 A 正确；
$x^{2}+y^{2}-4x - 4y=1 - 4\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\geq1 - 4\sqrt{2}$，故 B 错误；
由$|PB|=\sqrt{2}|PA|$得$|PB|^{2}=2|PA|^{2}$，即$(\cos\theta - 5)^{2}+\sin^{2}\theta=2(\cos\theta - 4)^{2}+2\sin^{2}\theta$，整理得$\cos\theta=\frac{4}{3}$，故不存在$\theta$，满足$|PB|=\sqrt{2}|PA|$，故 C 错误；
圆$C$的圆心为$C(0,0)$，半径为$r = 1$，则过$A$点的圆$C$的切线长为$\sqrt{|AC|^{2}-r^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$，故 D 正确. 故选 AD.

10. (2024浙江杭州二模,12)写出与圆$x^{2}+y^{2}=1$相切且方向向量为(1,$\sqrt{3}$)的一条直线的方程__________.

答案： 答案：$y=\sqrt{3}x + 2$或$y=\sqrt{3}x - 2$(写出一个即可)
解析：由题意可知，所求直线的斜率为$\sqrt{3}$，圆$x^{2}+y^{2}=1$的圆心为$(0,0)$，半径为$1$.
设直线的方程为$y=\sqrt{3}x + b$，由直线与圆$x^{2}+y^{2}=1$相切可得$\frac{|b|}{\sqrt{1 + 3}}=1$，解得$b=\pm2$，所以直线的方程为$y=\sqrt{3}x + 2$或$y=\sqrt{3}x - 2$.

11. (2024山东烟台、德州高考诊断性考试,12)若圆$(x - m)^{2}+(y - 1)^{2}=1$关于直线$y = x$对称的圆恰好过点(0,4),则实数m的值为________.

答案： 答案：$4$
解析：解法一：圆心$(m,1)$关于直线$y = x$的对称点为$(1,m)$，所以圆$(x - m)^{2}+(y - 1)^{2}=1$关于直线$y = x$对称的圆为$(x - 1)^{2}+(y - m)^{2}=1$(提示：两圆关于某条直线对称时，圆心关于直线对称，且两圆半径相等).
由点$(0,4)$在圆$(x - 1)^{2}+(y - m)^{2}=1$上，得$(0 - 1)^{2}+(4 - m)^{2}=1$，解得$m = 4$，所以实数$m$的值为$4$.
解法二：由两圆关于直线$y = x$对称可得，点$(4,0)$在圆$(x - m)^{2}+(y - 1)^{2}=1$上，即$(4 - m)^{2}+(0 - 1)^{2}=1$，解得$m = 4$，所以实数$m$的值为$4$.

12. (2024东北三省四市质量检测,13)已知A(-1,0),B(-4,0),|PB| = 2|PA|,若平面内满足到直线$l:3x + 4y + m = 0$的距离为1的点P有且只有3个,则实数m = ________.

答案： 答案：$\pm5$
解析：设$P(x,y)$，由$|PB|=2|PA|$得$x^{2}+y^{2}=4$，若该圆上有且只有$3$个点到直线$l:3x + 4y + m = 0$的距离为$1$，则圆心到直线的距离$d=\frac{|m|}{5}=1$，解得$m=\pm5$.

1. (2024山东聊城一模,8)已知P是圆$C:x^{2}+y^{2}=1$外的动点,过点P作圆C的两条切线,设两切点分别为A,B,当$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$的值最小时,点P到圆心C的距离为 ( )
A. $\sqrt[4]{2}$
B. $\sqrt[3]{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. 2

答案： A 设$|PC| = m$，则$|PA| = |PB|=\sqrt{m^{2}-1}$，$\cos\angle APC=\frac{|PA|}{|PC|}=\frac{\sqrt{m^{2}-1}}{m}$，
$\cos\angle APB=2\cos^{2}\angle APC - 1=2\times\frac{m^{2}-1}{m^{2}}-1=\frac{2m^{2}-2 - m^{2}}{m^{2}}=\frac{m^{2}-2}{m^{2}}$，
$\therefore\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(m^{2}-1)\cdot\frac{m^{2}-2}{m^{2}}=\frac{m^{4}-3m^{2}+2}{m^{2}}=m^{2}+\frac{2}{m^{2}}-3\geq2\sqrt{2}-3$，当且仅当$m^{2}=\frac{2}{m^{2}}$，即$m^{2}=\sqrt{2}$，即$m=\sqrt[4]{2}$时取等，
此时$|PC|=\sqrt[4]{2}$，故选 A.