《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,2)双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{m^{2}} = 1(m ＞ 0)$的渐近线方程为$y = \pm 2x$,则$m =$（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. 2

答案： D 由题意得$\frac{b}{a}=m = 2$，故选 D.

2.(2024安徽合肥一模,4)双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$的焦距为4,则$C$的渐近线方程为（ ）
A. $y = \pm\sqrt{15}x$
B. $y = \pm\sqrt{3}x$
C. $y = \pm\frac{\sqrt{15}}{15}x$
D. $y = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$

答案： B 由焦距为 4 可得$2c = 4$，即$c = 2$，又$a = 1$，所以$c^{2}=1 + b^{2}=4$，可得$b^{2}=3$，即$b=\sqrt{3}$，则$C$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{3}x$. 故选 B.

3.(2024湖南长沙3月调研,4)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(b ＞ 0)$的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线$C$的离心率为（ ）
A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\sqrt{3}$

答案： B 由双曲线$C:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(b\gt0)$，可得其渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{2}x$，不妨取$y=\frac{b}{2}x$，即$bx - 2y = 0$，由焦点到一条渐近线的距离为 2，可得$\frac{|bc|}{\sqrt{b^{2}+2^{2}}}=\frac{bc}{c}=b = 2$，所以双曲线$C$的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{2}$. 故选 B.

4.(2024甘肃兰州一诊,5)已知双曲线$E_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$与双曲线$E_{2}:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9} = 1$的离心率相同,双曲线$E_{1}$的顶点是双曲线$E_{2}$的焦点,则双曲线$E_{1}$的虚轴长为（ ）
A. $\frac{15}{4}$
B. $\frac{15}{2}$
C. $\frac{24}{5}$
D. 10

答案： B 设双曲线$E_{2}$的实半轴长，虚半轴长，半焦距分别为$a_{1},b_{1},c_{1}$，则$a_{1}=4,b_{1}=3,c_{1}=5$，则$E_{2}$的离心率为$\frac{5}{4}$，焦点坐标为$(\pm5,0)$，依题意知$a = 5,e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$，所以$c=\frac{25}{4}$，则$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\frac{15}{4}$，所以双曲线$E_{1}$的虚轴长为$2b=\frac{15}{2}$. 故选 B.

5.(2024山东聊城一模,5)设$F_{1},F_{2}$是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的左、右焦点,$P$是$C$上的一点,若$C$的一条渐近线的倾斜角为$60^{\circ}$,且$|PF_{1}|-|PF_{2}| = 2$,则$C$的焦距等于（ ）
A. 1
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. 4

答案： D 由渐近线的倾斜角为$60^{\circ}$，可得$\frac{b}{a}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，由$|PF_{1}|-|PF_{2}| = 2$，可得$2a = 2$，故$a = 1,b=\sqrt{3}$，则$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} = 2$，故$2c = 4$. 故选 D.

6.(2024江西重点中学协作体一模,5)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的左,右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$,点$M$为$F_{1}$关于渐近线的对称点.若$\frac{|MF_{1}|}{|MF_{2}|} = 2$,且$\triangle MF_{1}F_{2}$的面积为8,则$C$的方程为（ ）
A. $x^{2}-\frac{y^{2}}{4} = 1$
B. $\frac{x^{2}}{4}-y^{2} = 1$
C. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8} = 1$
D. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16} = 1$

答案： C 记$F_{1}M$与渐近线$bx + ay = 0$相交于点$N$，由题可知，$ON$为$\triangle MF_{1}F_{2}$的中位线，且$ON\perp F_{1}M$，所以$F_{2}M\perp F_{1}M$，因为焦点$F_{1}(-c,0)$到渐近线$bx + ay = 0$的距离$|F_{1}N|=\frac{|-bc|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b$，所以$|F_{1}M| = 2b$，$|F_{2}M| = 2|ON| = 2\sqrt{|F_{1}O|^{2}-|F_{1}N|^{2}} = 2a$，则$S_{\triangle F_{1}F_{2}M}=\frac{1}{2}|MF_{1}|\cdot|MF_{2}| = 2ab = 8$，又$\frac{|MF_{1}|}{|MF_{2}|}=2$，即$b = 2a$，联立$\begin{cases}2ab = 8\\b = 2a\end{cases}$，解得$a^{2}=2,b^{2}=8$，所以$C$的方程为$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$. 故选 C.

7.(2024安徽师大附中二模,5)已知$F_{1},F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的左、右焦点,若双曲线上存在点$P$满足$\overrightarrow{PF_{2}}\cdot\overrightarrow{PF_{1}} = - 2a^{2}$,则双曲线离心率的最小值为（ ）
A. $\sqrt{6}$
B. $\sqrt{5}$
C. 2
D. $\sqrt{3}$

答案： D 设$P(x_{0},y_{0})$，双曲线的半焦距为$c$，则有$|x_{0}|\geqslant a$，$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$，$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，于是$\overrightarrow{PF_{2}}=(c - x_{0},-y_{0})$，$\overrightarrow{PF_{1}}=(-c - x_{0},-y_{0})$，因此$\overrightarrow{PF_{2}}\cdot\overrightarrow{PF_{1}}=x_{0}^{2}-c^{2}+y_{0}^{2}=x_{0}^{2}+(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-1)b^{2}-c^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}\cdot x_{0}^{2}-b^{2}-c^{2}\geqslant\frac{c^{2}}{a^{2}}\cdot a^{2}-b^{2}-c^{2}=-b^{2}$，当且仅当$|x_{0}| = a$时取等号，则$-2a^{2}\geqslant -b^{2}$，即$\frac{b^{2}}{a^{2}}\geqslant2$，离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}\geqslant\sqrt{3}$，所以双曲线离心率的最小值为$\sqrt{3}$. 故选 D.

8.(多选)(2024河北邯郸三调,9)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{\lambda + 6}-\frac{y^{2}}{3 - \lambda} = 1$,则（ ）
A. $\lambda$的取值范围是$(-6,3)$
B. $C$的焦点可在$x$轴上也可在$y$轴上
C. $C$的焦距为6
D. $C$的离心率$e$的取值范围为$(1,3)$

答案： AC 对于 A，$\because\frac{x^{2}}{\lambda + 6}-\frac{y^{2}}{3-\lambda}=1$表示双曲线，$\therefore(\lambda + 6)(3-\lambda)\gt0$，解得$-6\lt\lambda\lt3$，故 A 正确；对于 B，由 A 项可得$-6\lt\lambda\lt3$，故$\lambda + 6\gt0,3-\lambda\gt0$，$\therefore C$的焦点只能在$x$轴上，故 B 错误；对于 C，设$C$的半焦距为$c(c\gt0)$，则$c^{2}=\lambda + 6+3-\lambda = 9$，$\therefore c = 3$，即焦距为$2c = 6$，故 C 正确；对于 D，离心率$e=\frac{3}{\sqrt{\lambda + 6}}$，$\because -6\lt\lambda\lt3$，$\therefore0\lt\sqrt{\lambda + 6}\lt3$，$\therefore e$的取值范围是$(1,+\infty)$，故 D 错误. 故选 AC.

9.(多选)(2024福建九地市质量检测(三),9)双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3a^{2}} = 1(a ＞ 0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$,且$C$的两条渐近线的夹角为$\theta$,若$|F_{1}F_{2}| = 2e$($e$为$C$的离心率),则（ ）
A. $a = 1$
B. $\theta = \frac{\pi}{3}$
C. $e = \sqrt{2}$
D. $C$的一条渐近线的斜率为$\sqrt{3}$

答案： ABD 易知该双曲线实半轴长为$a$，虚半轴长为$\sqrt{3}a$，半焦距为$2a$，则离心率$e=\frac{2a}{a}=2$，$\therefore$焦距$4a = 4$，$a = 1$，$\therefore$ A 正确，C 错误；易知$C$的两条渐近线的斜率为$k=\pm\frac{\sqrt{3}a}{a}=\pm\sqrt{3}$，$\therefore$两条渐近线的倾斜角分别为$\frac{\pi}{3}$和$\frac{2\pi}{3}$，$\therefore C$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，$\therefore$ B，D 正确. 故选 ABD.