《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

12.(2021新高考I,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b² = ac,点D在边AC上,BD$\sin\angle ABC$ = a$\sin C$.
(1)证明:BD = b;
(2)若AD = 2DC,求$\cos\angle ABC$.

答案：

13.(2022新高考I,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$\frac{\cos A}{1 + \sin A}$ = $\frac{\sin 2B}{1 + \cos 2B}$.
(1)若C = $\frac{2\pi}{3}$,求B;
(2)求$\frac{a² + b²}{c²}$的最小值.

答案：

1.(2021全国甲理,8,5分,中)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B' = 45°,∠A'B'C' = 60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA' - CC'约为($\sqrt{3}$≈1.732) ( )

A.346
B.373
C.446
D.473

答案：
B如图,过点C分别作A'C',B'C'的平行线,分别交A'A 与B'B于点D和E,连接DE,则DE//A'B',过点B作DE的平行线BF,交AA'于点F
　　　　　　　
故△A'B'C≌△DEC,
∴∠DCE=∠A'C'B'=45°,
∠CDE=∠C'A'B'=180°−∠A'C'B'−∠A'B'C'=75°.
在Rt△BCE中,可得tan15°=$\frac{BE}{CE}$,即2　$\sqrt{3}$=$\frac{100}{CE}$,
∴CE=$\frac{100}{2\sqrt{3}}$=100(2　$\sqrt{3}$),
在△CDE中,由正弦定理可得$\frac{DE}{sin45°}$=$\frac{CE}{sin75°}$,
∴DE=$\frac{sin45}{sin75°}$.CE=100(√3+1),
又知在Rt△ABF中,∠ABF=45°,所以AF=BF,所以AA'−
CC'=AD=AF+DF=AF+BE=BF+BE=DE+BE=100(2+$\sqrt{3}$)≈373.故选B.

2.(2020新高考I,15,5分,中)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,$\tan\angle ODC$ = $\frac{3}{5}$,BH//DG,EF = 12 cm,DE = 2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为______cm².

答案：
答案{4+5π)
解析　如图,连接OA,过点A分别作AQ⊥DE,AK⊥EF,垂足为Q,K,设AK与BH,DG分别交于点M,N,作OP⊥DG于点P,则AQ=AK=7cm,
∴DN=7cm,
∵DG=EF=12cm,
∴NG=
5cm,
∵NK=DE=2cm,
∴AN=5cm,
∴△ANG为等腰直角三角形，
∴∠GAN=45°,
∵∠OAG=90°,
∴∠OAM=45°,
设AM=OM=xcm,则PN=xcm,
∴DP=(7−x)cm,
∵tan∠ODG=$\frac{3}{5}$
∴OP=[(7−x)x$\frac{3}{5}${cm,由题意知AM+MN+NK=7cm,即x+(7−x)×$\frac{3}{5}$+2=7,解得x=2,
∴OA=
2/2om,
∴S阴影=π×
(22)²x+(2√2))²x$\frac{1}{2}$−$\frac{πX1}{2}$=3π+4−$\frac{H}{2}$=(4+$\frac{5π}{2}$em².
　　　　　

3.(2023全国甲文,17,12分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$\frac{b² + c² - a²}{\cos A}$ = 2.
(1)求bc;
(2)若$\frac{a\cos B - b\cos A}{a\cos B + b\cos A}$ - $\frac{b}{c}$ = 1,求△ABC面积.

答案： 解析
(1)由$\frac{b²+c²−a}{COSA}$=$\frac{b²+c²−a}{b²+c²−a²}$=2bc=2,
　　　　　　　　　　　　2bc
得bc=1.
(2)由正弦定理得$\frac{acosB−bcosA}{acosB+bcosA}$$\frac{b}{c}$
=$\frac{sinAcosB−cosAsinB}{sinAcosB+cosAsinB}$$\frac{sinB}{sinC}$
=$\frac{sinAcosB−cosAsinB−sinB}{sinC}$=1,
即sinAcosB−cosAsinB−sinB=sinC=sin(A+B),
得−sinB=2cosAsinB,
∵sinB≠0,
∴cOsA=$\frac{1}{2}$,
又
∵A∈(0,π),
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴S△AβC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$x1x$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$