《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

(2024新课标II,18,17分,难)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p = 0.4,q = 0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0＜p＜q.
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?

答案： 解析
(1)由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件.
因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为
[1−(1−p)²][1−(1−q)²]=[1−(1−0.4)²][1−(1−0.5)²]=
0.686.
(2)(i)设由甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为15分的概率为P,乙参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为15分的概率为P2,
则P1=[1−(1−p)²]q²,P=[1−(1−q)²]p².
则P−P2=[1−(1−p)²]q²−[1−(1−q)²]p²=3pq(q−p)(q+p−pq),又0＜p＜q＜1,所以q−p＞0,p+q−ρq=p(1−q)+q＞0,所以P＞P2,则应由甲参加第一阶段，这样才能使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大.
(ⅱ)设甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为X,则X的可能取值为0,5,10,15.则
P(X=0)=(1−p)²+[1−(1−ρ)²](1−q)²,
P(X=5)=[1−(1−p)²].Cq(1−q)²,
P(X=10)=[1−(1−p)²].C;q²(1−q),
P(X=15)=[1−(1−p)²].q²,
所以由甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩的数学期望为E(X)=0+5[1−(1−p)²].Cq(1−q)²+10[1−(1−p)²].
C;q²(1−q)+15[1−(1−p)²].q²=15q(3p−3p²+p²).
设乙参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为Y,同理可得乙参
加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望E(Y)=15p(3q−3q²+q²).
E(X)−E(Y)=15g(3p−3p²+p²)−15p(3q−3q²+q²)=
15ρq(q−ρ)(3−p−q),
因为0＜p＜q＜1,所以q−p＞0,3−p−q＞0,所以E(X)＞E(Y).则由甲参加第一阶段比赛时，该队比赛成绩的数学期望最大.

1.(2020课标III理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p₁,p₂,p₃,p₄,且$\sum_{i = 1}^{4}p_{i}=1$,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ( )
A.p₁ = p₄ = 0.1,p₂ = p₃ = 0.4
B.p₁ = p₄ = 0.4,p₂ = p₃ = 0.1
C.p₁ = p₄ = 0.2,p₂ = p₃ = 0.3
D.p₁ = p₄ = 0.3,p₂ = p₃ = 0.2

答案：
1B解法一(定量计算得结论):根据均值E(X)
= xPi,方差D(X)=∑[xi−E(X)]².p以及方差与标准差的关系,得各选项对应样本的标准差如下表

由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.
解法二(定性分析得结论):方差和标准差反映的是数据波动情况，数据的波动越大，方差和标准差越大，反之亦然.通过观察发现:各选项中间2,3出现的频率相同，两边1,4出现的频率相同，而B选项中数据离散程度最高，故标准差最大,故选B.

2.(多选)(2020新高考I,12,5分,难)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,⋯,n,且P(X = i)=pᵢ＞0(i = 1,2,⋯,n),$\sum_{i = 1}^{n}p_{i}=1$,定义X的信息熵H(X)=-$\sum_{i = 1}^{n}p_{i}\log_{2}p_{i}$. ( )
A.若n = 1,则H(X)=0
B.若n = 2,则H(X)随着p₁的增大而增大
C.若pᵢ=$\frac{1}{n}$(i = 1,2,⋯,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n = 2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m,且P(Y = j)=pⱼ+p₂ₘ₊₁₋ⱼ(j = 1,2,⋯,m),则H(X)≤H(Y)

答案： 2.AC
对于A,若n=1,则p=1,
∴H(X)=−1xlog21=0,A 正确.
对于B,若n=2,则p+p2=1,
∴H(X)=−∑2p,1og2ρ;=−(plog2p+ρ21og2P2),
∵ρ+p2=1,
∴P2=1−P,ρ∈(0,1),
∴H(X)=−[ρ1ogP+(1−p1)log2(1−p)],
令∮(p)=−[ρ1og2ρ+(1−p)1og2(1−p1)],
∴∮'(p1)=−[P1.$\frac{1}{p.ln2}$+log2P1+(1−p1).$\frac{−1}{(1−p).ln2}$−log2(1−p){=[[1p−og2(1|)]=1g2$\frac{1−p}{P}$,令f'(p)＞0,得0＜p＜$\frac{1}{2}$;
令f'(P1)＜0,得$\frac{1}{2}$＜ρ1＜1.
∴y=f(p)在|{0,$\frac{1}{2}$上为增函数,在{$\frac{1}{2}$,1)上为减函数,
∴H(X)随着p，的增大先增大后减小,B不正确.
对于C,由P=$\frac{1}{n}$(i=1,2,.….,n)可知,H(X)=
一妄冖plogPi=−妄=1$\frac{1}{n}$log2$\frac{1}{n}$=log2n,
∴H(X)随着n的增大而增大,C正确.
对于D,解法一(特例法):不妨设m=1,n=2,
则H(X)=−∑。1p1ogP=−(p,1log2P+p2logP22),
由于ρ1+p=1,不妨设p=p2=$\frac{1}{2}$,则H(X)=
−$\frac{1}{2}$1og2$\frac{1}{2}$+21og$\frac{1}{2}$)=1g2=1,H(y)=−1x1og21=0,故H(X)＞H(Y),D不正确.
解法二:由P((Y=j)=p;+P2m+1((j=1,2,...,m),得P(Y=1)=
ρ+P2m,P(Y=2)=p2+P2m−1,……,P(Y=m)=ρm+ρm+1,
∴H(Y)=−[(p+ρ2m).1og2(p+P2m)+(p2+ρ2m−1).1og2(ρ2+P2m−1)+...+(ρm+Pm+1)1og2(ρm+Pm+1)],
由n=2m,得H(X)=−∑2mp;log2ρ;=−(plog2P+p21og2P2+...+PulogPm),不妨设0＜a＜i,0＜b＜1,且0＜a+b≤1,
则log2a＜log2(a+b),alog2a＜alog2(a+b),同理,blog2b＜blog2(a+b),
∴alog2a+blog2b＜(a+b).log2(a+b),
∴p1og2P+P2mlog2P2＜(p+P2m)1og2(P+P2m),
p210g2P2+P2m−11og2ρ2m−1＜(P22+P2m−1)1og2(P22+P2m−1),
……
PmlogPm+Pm+1log2Pm+1＜(Pm+Pm+1)log2(ρm+Pm+1),
∴pilogPi＜s
　
　
　
　
　
　
∴
　冖　　　　∑(P;+P²m))log²(P;+P²。+1−),　H(X)＞H(Y),D不正确.

3.(2020浙江,16,6分,中)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ = 0)= ,E(ξ)= .

答案： 3答案$\frac{1}{3}$;1
解析　=0时，1个黄球也不取出，则取出顺序有红和绿红两种.所以P(5=0)=$\frac{1}{4}$+1x$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$;
5=1时，取出1个黄球，则取出顺序有黄红,黄绿红，绿黄红三种,所以P(S=1)=$\frac{2}{4}$x$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{4}$x$\frac{1}{3}$x$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$x$\frac{2}{3}$x$\frac{1}{2}$$\frac{1}{3}$;5=
2时,P(5=2)=1$\frac{1}{3}$$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$.
所以E
(5)=$\frac{1}{3}$x0+²1x1+$\frac{1}{3}$x2=1.

4.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大? (结论不要求证明)

答案： 14解析
(1)甲以往参加的10次比赛中，有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准，则甲得优秀奖的概率P=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则A,B,C,A,B,C相互独立,且P(A)=$\frac{2}{5}$,P(B)=P(C)=$\frac{1}{2}$,P(A)=1−P(A)=1−$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$,P(B)=P(C)=$\frac{1}{2}$,
则P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=$\frac{3}{5}$x$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$;P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B).P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=$\frac{2}{5}$x$\frac{1}{2}$x$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$x $\frac{1}{2}$x$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$x$\frac{1}{2}$x$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$;
P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B).
P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+²5×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{20}$;
P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$.
故X的数学期望E(X)=0×$\frac{3}{20}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{7}{20}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{7}{5}$
(3)丙.
详解:乙夺冠的概率为P(乙)=$\frac{1}{6}$×$\frac{9}{10}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{48}$,
丙夺冠的概率为P(丙)=$\frac{1}{4}$+−4×$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{6}$=$\frac{5}{12}$,
甲夺冠的概率为P(甲)=1$\frac{5}{12}$$\frac{13}{48}$=$\frac{5}{16}$,
P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.