《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

8.(2024重庆八中适应性月考,13)如图所示,已知一个半径为2的半圆面剪去了一个含$30^{\circ}$角的$Rt\triangle ABC$,将剩余部分绕着直径$AB$所在直线旋转$180^{\circ}$得到一个几何体,该几何体的表面积为________.

答案：
答案：$(11+\sqrt{3})\pi$
解析：令$\angle BAC = 30^{\circ}$，作$CD\perp AB$于点$D$，如图所示，由半径为$2$，可得$AC = 2\sqrt{3}$，$BC = 2$，$CD=\sqrt{3}$，则该几何体的表面积$S=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\pi\times2+\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\pi\times2\sqrt{3}+\frac{1}{2}\times4\pi\times2^{2}=(11+\sqrt{3})\pi$。（该几何体由半球挖去两个同底的圆锥的一半而成）
　　　　　　　　　　　　　　　　

9.(2024河南名校联考,13)一个水平放置在某地的三棱台型集雨器如图所示,已知上、下底面的面积分别为$4\ cm^{2}$和$9\ cm^{2}$,高为3 cm.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为________mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)

答案：
答案：$\frac{455}{16}$
解析：如图，将三棱台补成三棱锥$O - A_{1}B_{1}C_{1}$，设三棱锥$O - ABC$的高为$h$，则三棱锥$O - A_{1}B_{1}C_{1}$的高为$h + 3$，三棱锥$O - A_{0}B_{0}C_{0}$的高为$h+\frac{3}{2}$，由题意知$\frac{h}{h + 3}=\sqrt{\frac{4}{9}}$，解得$h = 6$。
所以三棱锥$O - ABC$的体积为$\frac{1}{3}\times4\times6 = 8\ cm^{3}$。
设三棱锥$O - A_{0}B_{0}C_{0}$，$O - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积分别为$V_{0}$，$V_{1}$，则$\frac{8}{V_{0}}=(\frac{h}{h+\frac{3}{2}})^{3}$，即$\frac{8}{V_{0}}=(\frac{6}{6+\frac{3}{2}})^{3}$，所以$V_{0}=\frac{125}{8}\ cm^{3}$。
同理$\frac{8}{V_{1}}=(\frac{h}{h + 3})^{3}=(\frac{6}{6 + 3})^{3}$，所以$V_{1}=(\frac{3}{2})^{3}\times8 = 27\ cm^{3}$。
所以该地降雨量为$\frac{V_{1}-V_{0}}{4}=\frac{91}{32}\ cm=\frac{455}{16}\ mm$。
　　　　　　　　　　　　　

10.(2024山东新高考联合质量测评,13)已知$A,B$是球$O$的球面上两点,$\angle AOB = 90^{\circ},C$为球面上的动点.若三棱锥$O - ABC$体积的最大值为$9\sqrt{3}$,则球$O$的体积为________.

答案：
答案：$72\sqrt{3}\pi$
解析：当$OC\perp$平面$OAB$时，三棱锥$O - ABC$的体积最大，设球$O$的半径为$R$，则$V_{O - ABC}=V_{C - OAB}=\frac{1}{3}\times S_{\triangle OAB}\times OC = 9\sqrt{3}$，又$\angle AOB = 90^{\circ}$，则$V_{O - ABC}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}R^{2}\times R=\frac{1}{6}R^{3}=9\sqrt{3}$，$R^{3}=54\sqrt{3}$，则$V_{球O}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi\times54\sqrt{3}=72\sqrt{3}\pi$。
　　　　　　　　　　　　　

11.(2024福建高中毕业班适应性考试,13)已知圆台$O_{1}O_{2}$的高为6,$AB,CD$分别为上、下底面的一条直径,且$AB = 4,CD = 8$,则圆台$O_{1}O_{2}$的体积为________;若$A,B,C,D$四点不共面,且它们都在同一个球面上,则该球的表面积为________.

答案：
答案：$56\pi$；$80\pi$
解析：圆台的上底面面积$S'=\pi\cdot2^{2}=4\pi$，下底面面积$S=\pi\cdot4^{2}=16\pi$，所以圆台的体积为$V=\frac{1}{3}(S'+S+\sqrt{S'S})h=\frac{1}{3}(4\pi + 16\pi+\sqrt{4\pi\times16\pi})\times6 = 56\pi$。因为$A$，$B$，$C$，$D$四点不共面，所以$A$，$B$，$C$，$D$四点在圆台的外接球上。连接$O_{1}O_{2}$，如图，设球的球心为$O$，半径为$R$。易知球心$O$在直线$O_{1}O_{2}$上。当$O$在线段$O_{1}O_{2}$上时，$OO_{1}=\sqrt{R^{2}-4}$，$OO_{2}=\sqrt{R^{2}-16}$，因为$O_{1}O_{2}=6$，所以$O_{1}O_{2}=OO_{1}+OO_{2}=\sqrt{R^{2}-4}+\sqrt{R^{2}-16}=6$，解得$R^{2}=20$，则该球的表面积为$4\pi R^{2}=4\pi\times20 = 80\pi$；当$O$在线段$O_{1}O_{2}$的延长线上时，设$OO_{2}=x$，则$AO^{2}=(6 + x)^{2}+4$，$CO^{2}=x^{2}+16$，方程$(6 + x)^{2}+4=x^{2}+16$无正解。综上，该球的表面积为$80\pi$。
　　　　　　

12.(2024山东烟台、德州诊断,13)在三棱锥$P - ABC$中,$PB = PC=\sqrt{2},PA = 2$,且$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA,E,F$分别是$PC,AC$的中点,$\angle BEF = 90^{\circ}$,则三棱锥$P - ABC$外接球的表面积为________,该三棱锥外接球与内切球的半径之比为________.

答案： 答案：$10\pi$；$\sqrt{10}+\frac{\sqrt{5}}{2}$
解析：因为$PB = PC$，$\angle APB=\angle APC$，$PA = PA$，所以$\triangle APB\cong\triangle APC$，所以$AB = AC$，取$BC$的中点$M$，连接$AM$，$PM$，因为$AB = AC$，$PB = PC$，所以$AM\perp BC$，$PM\perp BC$，因为$AM\cap PM = M$，$PM$，$AM\subset$平面$PAM$，所以$BC\perp$平面$PAM$，因为$PA\subset$平面$PAM$，所以$BC\perp PA$，又$E$，$F$分别为$PC$，$AC$的中点，所以$EF// PA$，由$\angle BEF = 90^{\circ}$，知$EF\perp BE$，则$PA\perp BE$，又$BE\cap BC = B$，$BE$，$BC\subset$平面$PBC$，所以$PA\perp$平面$PBC$，所以$\angle APB=\angle APC = 90^{\circ}$，又$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$，所以$PA$，$PB$，$PC$两两垂直。
所以外接球半径$R=\frac{1}{2}\sqrt{PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2 + 4+4}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。所以外接球表面积为$S = 4\pi R^{2}=4\pi\times(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}=10\pi$。
由$PB\perp PC$，$PB = PC = 2$得$BC=\sqrt{PC^{2}+PB^{2}}=2\sqrt{2}$，$PM=\sqrt{2}$，又$PA=\sqrt{2}$，$PA\perp PM$，则$AM = 2$，设三棱锥内切球半径为$r$，由等体积法得$\frac{1}{

13.(2024湖北华师一附中、湖南师大附中等三校二模,14)已知空间四面体$ABCD$满足$AB = AC = DB = DC,AD = 2BC = 6$,则该四面体外接球的体积的最小值为________.

答案：

1.(概念深度理解)(2024江苏、浙江大联考,14)已知长方体的表面积为8,所有棱长和为16,则长方体体积的最大值为________.

答案：

2.(创新考法)(2024浙江金华十校模拟,17)如图,在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中,$\triangle ABC$是边长为2的正三角形,侧面$BB_{1}C_{1}C$是矩形,$AA_{1}=A_{1}B$.
(1)求证:三棱锥$A_{1}-ABC$是正三棱锥;
(2)若三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为$2\sqrt{2}$,求直线$AC_{1}$与平面$AA_{1}B_{1}B$所成角的正弦值.

答案：