《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

4.（2022全国甲文，11，5分，中）已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的离心率为$\frac{1}{3}$，$A_1,A_2$分别为$C$的左、右顶点，$B$为$C$的上顶点.若$\overrightarrow{BA_1}\cdot\overrightarrow{BA_2}=-1$，则$C$的方程为（ ）
A.$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{16}=1$
B.$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
C.$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
D.$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$

答案： 4. B 由题意知A1(-a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，则BA1 = (-a,-b)，BA2 = (a,-b)，所以BA1·BA2 = -a² + b² = -1①，又e = c/a = √(1 - b²/a²) = 1/3，即b²/a² = 8/9②，联立①②，解得{a² = 9,b² = 8}，所以椭圆C的方程为x²/9 + y²/8 = 1。故选B。

5.（2023全国甲理，12，5分，中）设$O$为坐标原点，$F_1,F_2$为椭圆$C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1$的两个焦点，点$P$在$C$上，$\cos\angle F_1PF_2=\frac{3}{5}$，则$|OP|=$（ ）
A.$\frac{13}{5}$
B.$\frac{\sqrt{30}}{2}$
C.$\frac{14}{5}$
D.$\frac{\sqrt{35}}{2}$

答案： 5. B
解法一：设∠F1PF2 = 2θ，0 ＜ θ ＜ π/2，所以S△PF1F2 = b²tan(∠F1PF2/2) = b²tanθ，
由cos∠F1PF2 = cos2θ = (cos²θ - sin²θ)/(cos²θ + sin²θ) = (1 - tan²θ)/(1 + tan²θ) = 3/5，解得tanθ = 1/2，
由椭圆方程可知a² = 9，b² = 6，c² = a² - b² = 3，
所以S△PF1F2 = 1/2×|F1F2|×|yP| = 1/2×2√3×|yP| = 6×1/2，解得yP² = 3，则xP² = 9×(1 - 3/6) = 9/2，
因此|OP| = √(xP² + yP²) = √(3 + 9/2) = √30/2。故选B。
解法二：|PF1| + |PF2| = 2a = 6①，|PF1|² + |PF2|² - 2|PF1||PF2|cos∠F1PF2 = |F1F2|²，
即|PF1|² + |PF2|² - 6/5|PF1||PF2| = 12②，
联立①②，解得|PF1||PF2| = 15/2，|PF1|² + |PF2|² = 21，
因为PO = 1/2(PF1 + PF2)，所以|OP| = |PO| = 1/2|PF1 + PF2|，
即|PO| = 1/2|PF1 + PF2| = 1/2√(|PF1|² + 2PF1·PF2 + |PF2|²) = 1/2√(21 + 2×3/5×15/2) = √30/2。故选B。

6.（2022北京，19，15分，中）已知椭圆$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的一个顶点为$A(0,1)$，焦距为$2\sqrt{3}$.
(1)求椭圆$E$的方程；
(2)过点$P(-2,1)$作斜率为$k$的直线与椭圆$E$交于不同的两点$B,C$，直线$AB,AC$分别与$x$轴交于点$M,N$.当$|MN|=2$时，求$k$的值.

答案：

7.（2020课标II理，19，12分，中）已知椭圆$C_1:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的右焦点$F$与抛物线$C_2$的焦点重合，$C_1$的中心与$C_2$的顶点重合.过$F$且与$x$轴垂直的直线交$C_1$于$A,B$两点，交$C_2$于$C,D$两点，且$|CD|=\frac{4}{3}|AB|$.
(1)求$C_1$的离心率；
(2)设$M$是$C_1$与$C_2$的公共点.若$|MF|=5$，求$C_1$与$C_2$的标准方程.

答案：