《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

2.(2023北京,3,4分,易)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,3)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,1)$，则$|\boldsymbol{a}|^{2}-|\boldsymbol{b}|^{2}=$（ ）
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1

答案： 由题知$\begin{cases}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,3)\\\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,1)\end{cases}$，则$\begin{cases}\boldsymbol{a}=(0,2)\\\boldsymbol{b}=(2,1)\end{cases}$，
所以$|\boldsymbol{a}|^{2}-|\boldsymbol{b}|^{2}=4 - 5=-1$。

3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，则在下列向量中，与$\boldsymbol{b}$垂直的是（ ）
A. $\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$
B. $2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
C. $\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$
D. $2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$

答案： 要判断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与$\boldsymbol{b}$垂直，只需判断这四个向量哪个与$\boldsymbol{b}$的数量积为零即可。
A.$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{b}^{2}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^{\circ}+2|\boldsymbol{b}|^{2}=1\times1\times\cos60^{\circ}+2\times1^{2}=\frac{5}{2}\neq0$。
B.$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^{\circ}+|\boldsymbol{b}|^{2}=2\times1\times1\times\cos60^{\circ}+1^{2}=2\neq0$。
C.$(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{b}^{2}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^{\circ}-2|\boldsymbol{b}|^{2}=1\times1\times\cos60^{\circ}-2\times1^{2}=-\frac{3}{2}\neq0$。
D.$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}^{2}=2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^{\circ}-|\boldsymbol{b}|^{2}=2\times1\times1\times\cos60^{\circ}-1^{2}=0$。故选D。

4.(2023全国乙文,6,5分,易)正方形$ABCD$的边长是$2$，$E$是$AB$的中点，则$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=$（ ）
A. $\sqrt{5}$
B. 3
C. $2\sqrt{5}$
D. 5

答案：
解法一：由题意知，$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$
=$\overrightarrow{BC}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}^{2}=2^{2}-\frac{1}{4}\times2^{2}=3$。
故选B。
解法二：以$D$为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则$E(1,2)$，$C(2,0)$，$D(0,0)$，
∴$\overrightarrow{EC}=(1,-2)$，$\overrightarrow{ED}=(-1,-2)$，
∴$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=1\times(-1)+(-2)\times(-2)=3$。
故选B。

5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知$P$是边长为$2$的正六边形$ABCDEF$内的一点，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$的取值范围是（ ）
A. $(-2,6)$
B. $(-6,2)$
C. $(-2,4)$
D. $(-4,6)$

答案：
解法一：如图，过点$P$作$PP_{1}\perp$直线$AB$于$P_{1}$，过点$C$作$CC_{1}\perp$直线$AB$于$C_{1}$，过点$F$作$FF_{1}\perp$直线$AB$于$F_{1}$，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AP}|\cdot|\overrightarrow{AB}|\cos\angle PAB$，当$\angle PAB$为锐角时，$|\overrightarrow{AP}|\cos\angle PAB=|\overrightarrow{AP_{1}}|$，当$\angle PAB$为钝角时，$|\overrightarrow{AP}|\cos\angle PAB=-|\overrightarrow{AP_{1}}|$，所以当点$P$与$C$重合时，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$最大，此时$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{AB}| = 6$，当点$P$与$F$重合时，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$最小，此时
$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=-|\overrightarrow{AF}|\cdot|\overrightarrow{AB}|=-2$，又因为点$P$是正六边形$ABCDEF$内的一点，所以$-2\lt\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}\lt6$。故选A。

解法二：连接$AE$，以$A$为坐标原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AE$所在直线为$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则$A(0,0)$，$B(2,0)$，设$P(x_{0},y_{0})$，则$-1\lt x_{0}\lt3$（提示：建立的坐标系不同，$x_{0}$的范围也不同）。$\overrightarrow{AB}=(2,0)$，$\overrightarrow{AP}=(x_{0},y_{0})$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=2x_{0}\in(-2,6)$，故选A。

6.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知$O$为坐标原点，点$P_{1}(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$P_{2}(\cos\beta,-\sin\beta)$，$P_{3}(\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta))$，$A(1,0)$，则（ ）
A. $|\overrightarrow{OP_{1}}| = |\overrightarrow{OP_{2}}|$
B. $|\overrightarrow{AP_{1}}| = |\overrightarrow{AP_{2}}|$
C. $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}$
D. $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{1}}=\overrightarrow{OP_{2}}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}$

答案： A项，
∵$\overrightarrow{OP_{1}}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\overrightarrow{OP_{2}}=(\cos\beta,-\sin\beta)$，
∴$|\overrightarrow{OP_{1}}|=\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=1$，$|\overrightarrow{OP_{2}}|=\sqrt{\cos^{2}\beta+(-\sin\beta)^{2}}=1$，
∴$|\overrightarrow{OP_{1}}| = |\overrightarrow{OP_{2}}|$，A选项正确。
B项，
∵$\overrightarrow{AP_{1}}=(\cos\alpha - 1,\sin\alpha)$，$\overrightarrow{AP_{2}}=(\cos\beta - 1,-\sin\beta)$，
∴$|\overrightarrow{AP_{1}}|=\sqrt{(\cos\alpha - 1)^{2}+\sin^{2}\alpha}=\sqrt{2 - 2\cos\alpha}$
$|\overrightarrow{AP_{2}}|=\sqrt{(\cos\beta - 1)^{2}+(-\sin\beta)^{2}}=\sqrt{2 - 2\cos\beta}$，由于$\alpha$，$\beta$的大小关系不确定，从而不能确定$|\overrightarrow{AP_{1}}| = |\overrightarrow{AP_{2}}|$是否成立，B选项不正确。
C选项，
∵$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=(1,0)\cdot(\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta))=\cos(\alpha + \beta)$，
$\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\cdot(\cos\beta,-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha + \beta)$，
∴$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}$，C选项正确。
D选项，
∵$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{1}}=(1,0)\cdot(\cos\alpha,\sin\alpha)=\cos\alpha$，
$\overrightarrow{OP_{2}}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=(\cos\beta,-\sin\beta)\cdot(\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta))=\cos\beta\cos(\alpha + \beta)-\sin\beta\sin(\alpha + \beta)=\cos(\beta+\alpha+\beta)=\cos(\alpha + 2\beta)$，
∴$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{1}}=\overrightarrow{OP_{2}}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}$不一定成立。
D选项不正确。故选AC。

7.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}=(1,3)$，$\boldsymbol{b}=(3,4)$，若$(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，则$\lambda =$_______。

答案： 答案$\frac{3}{5}$
解析　解法一：由$\boldsymbol{a}=(1,3)$，$\boldsymbol{b}=(3,4)$，
得$\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}=(1 - 3\lambda,3 - 4\lambda)$，
由$(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$得$(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=0$，
故$3(1 - 3\lambda)+4(3 - 4\lambda)=0$，即$15 - 25\lambda=0$，解得$\lambda=\frac{3}{5}$
解法二：由$(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$得$(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=0$，
即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\lambda\boldsymbol{b}^{2}=0$，
$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\times3 + 3\times4 = 15$，$\boldsymbol{b}^{2}=3\times3 + 4\times4 = 25$，
则$15 - 25\lambda=0$，
∴$\lambda=\frac{3}{5}$

8.(2020课标Ⅱ理,13,5分,易)已知单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$45^{\circ}$，$k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$垂直，则$k =$_______。

答案： 答案$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析　由题意得$(k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=k\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，又单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$45^{\circ}$，所以$k-\frac{\sqrt{2}}{2}=0$，即$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$

1.(2024辽宁抚顺模拟,3)已知向量$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,2)$，若向量$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=8$，且$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，则$|\boldsymbol{c}|=$（ ）
A.$2\sqrt{5}$
B.12
C.20
D.$2\sqrt{3}$

答案： 由b//c可设c=λb=(λ,2λ),A∈R,
由a.c=8可得2λ+1×2λ=8,解得λ=2,
所以c=(2,4),则1cl=$\sqrt{2²+4²}$=2$\sqrt{5}$故选A.

2.(2024江苏苏锡常镇调研一,3)已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{3}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为（ ）
A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2}{3}\pi$
D.$\frac{3}{4}\pi$

答案： Ba+b=−c,所以(a+b)²=c²,所以a²+2a.b+b²=3,所以a.b=$\frac{1}{2}$,则cos＜a,b＞=$\frac{a.b}{lallb|}$=$\frac{1}{2}$,
∴(a,b＞=$\frac{T}{3}$,故选B.

3.(2024山东青岛二模,5)已知平面向量$\boldsymbol{a}=(-1,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,0)$，则$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为（ ）
A.$(-1,0)$
B.$(1,0)$
C.$(-\sqrt{2},0)$
D.$(\sqrt{2},0)$

答案： 由a=(−1,1),b=(2,0),得a.b=−2,1b1=2,所以a在b上的投影向量为$\frac{a.b}{161}$.$\frac{b}{161}$=$\frac{a.b}{1612}$.b=$\frac{−2}{4}$(2,0)=
(−1,0).故选A.

4.(2024湖南长沙雅礼中学月考（七）,4)已知$D$是$\triangle ABC$所在平面内一点，$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则（ ）
A.$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$
B.$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$
D.$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

答案：
由AD=$\frac{3}{5}$AB+$\frac{2}{5}$AC,得AB+BD=$\frac{3}{5}$AB+$\frac{2}{5}$AC,
得BD=$\frac{2}{5}$AB+$\frac{2}{5}$AC,得BD=$\frac{2}{5}$(−AB+AC)=$\frac{2}{5}$BC,故选A.

5.(2024福建漳州第三次质量检测,6)在$\triangle ABC$中，$D$是边$BC$上一点，且$BD = 2DC$，$E$是$AC$的中点，记$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{n}$，则$\overrightarrow{BE}=$（ ）
A.$\frac{5}{3}\boldsymbol{n}-3\boldsymbol{m}$
B.$\frac{7}{2}\boldsymbol{n}-3\boldsymbol{m}$
C.$\frac{7}{2}\boldsymbol{m}-3\boldsymbol{n}$
D.$\frac{5}{2}\boldsymbol{m}-3\boldsymbol{n}$

答案：
BE=AE−AB=$\frac{1}{2}$AC−(AC+
CB)=−$\frac{1}{2}$AC−3CD=−$\frac{1}{2}$AC− 3(AD−AC)=$\frac{5}{2}$AC−3AD=$\frac{5}{2}$m−3n,故选D.

6.(2024湖北七市州3月联考,3)已知正方形$ABCD$的边长为$2$，若$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PC}$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BD}=$（ ）
A.2
B.-2
C.4
D.-4

答案：
以点A为坐标原点建立平面直
角坐标系，如图所示，则B(2,0),D(0，
2),C(2,2),
由BP=PC可得P为BC的中点,所以P 
(2,1),
则AP=(2,1),又BD=(−2,2),所以AP.
BD=2×(−2)+1×2=−2.故选B.

7.(2024北京清华附中统练二,5)如图，在$\square OACB$中，$E$是$AC$的中点，$F$是$BC$上的一点，且$BC = 3BF$，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OE}+n\overrightarrow{OF}$，其中$m,n\in\mathbf{R}$，则$m + n$的值为（ ）

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{3}$

答案：