《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

7. 在简单随机抽样的方法下，下列说法正确的有(CD)

A.从含有甲在内的 10 个同学中抽取一个容量为 3 的样本，则甲“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别为 $ \frac{3}{10} $，$ \frac{1}{5} $
B.为了解 7000 名考生的数学成绩，抽取的 100 名考生的数学成绩的平均数是总体平均数
C.从 20 箱产品中，不放回地抽取 3 次和一次抽取 3 箱是等价的两种抽样方法
D.从某批零件中随机抽取 50 个，再从中随机抽出 40 个进行质量检查，发现合格品有 36 个，则该产品的合格率约为 90％

答案： 7. CD 对于A，甲每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，所以甲“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为$\frac{1}{10}$，A错误.对于B，可以用100名考生的数学成绩的平均数估计总体平均数，但两者并不相等，B错误.对于C，根据简单随机抽样的定义知，这两种抽样方法是等价的，C正确.对于D，根据随机抽样的定义，知产品的合格率约为$\frac{36}{40} × 100\%=90\%$，D正确.

8. 在对 101 个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除 1 个人，再在剩余的 100 个人中随机抽取 10 个人，那么下列说法正确的是(BD)

A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等
C.由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D.每个人被抽到的可能性相等

答案： 8. BD 由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的，故每个人被抽到的可能性均为$\frac{10}{101}$.

9. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为 1～1000 的 1000 名学生进行了调查. 调查中使用了两个问题，问题 1：您的编号是否为奇数？ 问题 2：您是否吸烟？ 被调查者随机从设计好的装置(内有除颜色外完全相同的白球 100 个，红球 100 个)中随机摸出一个小球：若摸出白球则回答问题 1，若摸出红球则回答问题 2，共有 270 人回答“是”，则下述结论正确的是(BC)

A.估计被调查者中约有 520 人吸烟
B.估计约有 20 人对问题 2 的回答为“是”
C.估计该地区约有 4％的中学生吸烟
D.估计该地区约有 2％的中学生吸烟

答案： 9. BC 随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是$\frac{1}{2}$，其编号是奇数的概率也是$\frac{1}{2}$，所以回答问题1且回答“是”的人数为$1000 × \frac{1}{2} × \frac{1}{2}=250$，所以回答问题2，且回答“是”的人数为$270-250=20$，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为$\frac{20}{500}=4\%$，估计被调查者中约有$1000 × 4\%=40$(人)吸烟，故B,C正确.

10. 利用简单随机抽样的方法，不放回地从 $ n $ 个个体($ n \geq 13 $)中抽取 13 个个体(每次抽取 1 个个体)，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的可能性为 $ \frac{1}{3} $，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为$\frac{13}{37}$.

答案： 10. $\frac{13}{37}$ 由题意，得$\frac{13 - 1}{n - 1} = \frac{1}{3}$，解得$n = 37$，故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为$\frac{13}{37}$.

11. 从一个篮球训练营中抽取 10 名学员进行投篮比赛，每人投 10 次，统计出该 10 名学员投篮投中的次数，4 人投中 5 次，3 人投中 6 次，2 人投中 7 次，1 人投中 8 次，试估计该训练营学员投篮投中的平均次数为6.

答案： 11. 6 10名学员投中的平均次数为$\frac{4 × 5 + 3 × 6 + 2 × 7 + 1 × 8}{10}=6$.