《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. “平面α内有一条直线 l，则这条直线上的一点 A 必在这个平面内”用符号语言表述是(C)

A.$\begin{cases} l\subset \alpha \\ A\subset l \end{cases}\Rightarrow A\subset \alpha$
B.$\begin{cases} l\in \alpha \\ A\in l \end{cases}\Rightarrow A\subset \alpha$
C.$\begin{cases} l\subset \alpha \\ A\in l \end{cases}\Rightarrow A\in \alpha$
D.$\begin{cases} l\in \alpha \\ A\subset l \end{cases}\Rightarrow A\in \alpha$

答案： 1.C “平面$\alpha$内有一条直线$l$，则这条直线上的一点$A$必在这个平面内”的符号语言表述为$\begin{array}{c}l\subset\alpha\\A\in l\end{array}\}\Rightarrow A\in\alpha$.

2. 下列命题为真命题的是(C)

A.一条直线和一个点可以确定一个平面
B.若 A，B，C 三点既在平面α内，又在平面β内，则平面α与β重合
C.梯形一定是平面图形
D.空间中四点可以确定的平面数可能是 1 个或 4 个

答案： 2.C 对于A，一条直线和直线外一点可以确定一个平面，A错误；对于B，当$A,B,C$三点在同一条直线上时，平面$\alpha$与$\beta$可以不重合，B错误；对于C，因为梯形有一组对边平行，所以四个顶点在同一平面内，C正确；对于D，当四个点为平面四边形的四个顶点时，只能确定唯一平面；当四个点为三棱锥的四个顶点时，可以确定四个不同的平面.当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点.综上，D错误.
易错警示 空间四点的位置包括：共线、共面、不共面.

3. 如图，$\alpha \cap \beta =l$，$A,B\in \alpha$，$C\in \beta$，且$A,B,C\notin l$，直线$AB\cap l=M$，过 A，B，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(D)


A.点 A
B.点 B
C.点 C 但不过点 M
D.点 C 和点 M

答案： 3.D 由$A,B\in\gamma,M\in$直线$AB,AB\subset\gamma$，则$M\in\gamma$，所以$MCC\subset\gamma$.又$\alpha\cap\beta=l$，则$M\in\beta$.由$C\in\beta$，得$MCC\subset\beta$，所以$\beta\cap\gamma=MC$，所以$\gamma$与$\beta$的交线必通过点$C$和点$M$.

4. 用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是(C)

A.3
B.4
C.6
D.8

答案：
4.C 截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，如下图所示.

5. 在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取点 E，F，G，H，如果 EF 与 HG 相交于点 M，那么(A)

A.点 M 一定在直线 AC 上
B.点 M 一定在直线 BD 上
C.点 M 可能在直线 AC 上，也可能在直线 BD 上
D.点 M 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上

答案： 5.A $M\in EF,EF\subset$平面$ABC$，故$M\in$平面$ABC$.又$M\in GH,GH\subset$平面$ACD$，故$M\in$平面$ACD$.又因为平面$ABC\cap$平面$ACD=AC$，所以$M\in AC$.

6. 过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是(C)

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰梯形
D.平行四边形

答案：
6.C 如图，过$AB$和$OO_1$中点的$M$作截面$ABM$，$D,D_1$分别是$AB,A_1B_1$的中点，$O\in D_1C_1,O_1\in D_1C_1$，直线$DM$是截面$ABM$与平面$DD_1C_1C$的交线，在平面$DD_1C_1C$中延长$DM$与$CC_1$相交于点$H$，由于$\frac{DO_1}{DC}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{OM}{CH}=\frac{1}{3}$，而$OM=\frac{1}{2}CC_1$，因此$H$在$CC_1$的延长线上，连接$BH$交$B_1C_1$于$E$，连接$AH$交$A_1C_1$于$F$，连接$FE$，四边形$ABEF$为截面.由正三棱柱的性质可得$EF// AB,AF=BE$，四边形$ABEF$是等腰梯形.

解题突破 本题考查棱柱的截面，掌握平面的基本性质是解题关键.要注意两直线的交点只有在同一平面内才可作出.同样平行线也只能在同一平面内才能作出.

7. 下列说法正确的是(ABD)

A.经过两条相交直线，有且只有一个平面
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案： 7.ABD 根据基本事实1和基本事实2的推论1和推论2知$A,B$正确，根据基本事实3知D正确，C错误，两平面相交有一条交线，有无数个公共点.