《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 下列叙述正确的是(ABD)

A.若 $|\boldsymbol{a}| = 0$,则 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$
B.若 $|\boldsymbol{a}| = 0$,则 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
C.若 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$,则 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$
D.若 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$,则 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$

答案： 8. ABD 对于A，B，因为$\vert\boldsymbol{a}\vert=0$，所以$\boldsymbol{a}=0$且与任意向量平行，所以$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，故A，B正确；对于C，若$\boldsymbol{b}=0$，则由$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，得不出$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$，故C错误；对于D，因为$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$，所以$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$，故D正确.
方法总结 相等的向量具有传递性，共线的向量不一定具有传递性.

9. 已知$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$是平行向量,且$|\overrightarrow{OA}| = 4$,$|\overrightarrow{OB}| = 4$,则下列结论可能成立的是(ABC)

A.$|\overrightarrow{AB}| = 5$
B.$|\overrightarrow{AB}| = 3$
C.$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OB}$方向相同
D.$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OA}$方向相同

答案： 9. ABC 当$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$方向相同时，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$方向都相反，且$\vert\overrightarrow{AB}\vert=3$；当$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$方向相反时，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OB}$方向相同，与$\overrightarrow{OA}$方向相反，且$\vert\overrightarrow{AB}\vert=5$，故选项A，B，C可能成立.

10. 一辆汽车从 $A$ 点出发向西行驶了 $100$ km 到达 $B$ 点,然后又转变方向,向西偏北 $50^{\circ}$ 方向行驶了 $200$ km 到达 $C$ 点,最后向东行驶 $100$ km 到达 $D$ 点,则 $|\overrightarrow{AD}| =$200 km.

答案：
10. 200 km 如图，$AB// CD$，$AB=CD=100$ km，所以四边形ABCD是平行四边形，所以$\vert\overrightarrow{AD}\vert=BC=200$ km.
题讲评与答案详析
教材链接 人教A版必修二6.1练习第3题改编

11. (教材变式)如图所示的每个小正方形的边长都是 $1$,在其中标出了 $6$ 个向量,则在这 $6$ 个向量中:

(1)有且仅有两个向量的模相等,则这两个向量分别是CH，$\overrightarrow{AE}$,它们的模都等于$\sqrt{10}$;
(2)存在着共线向量,则这些共线向量分别是DG，$\overrightarrow{HF}$,它们的模的和等于$5\sqrt{2}$.

答案： 11.
(1)CH，$\overrightarrow{AE}\ \sqrt{10}$
(2)DG，$\overrightarrow{HF}\ 5\sqrt{2}$

12. 给出下列命题:
①$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$ 是向量 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 的必要不充分条件;②向量 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$ 相等的充要条件是$\begin{cases}|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|,\\\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b};\end{cases}$③若$A$,$B$,$C$,$D$ 是不共线的四点,则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$是四边形 $ABCD$ 为平行四边形的充要条件;④若将平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上.
其中为真命题的有①③④(填序号).

答案： 12. ①③④ 对于①，由$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\Rightarrow\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$，而显然$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert\not\Rightarrow\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，从而$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$是向量$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$的必要不充分条件，故①正确.对于②，向量$\boldsymbol{a}=(1,0)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0)$不相等，但满足$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，故②错误.对于③，由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，得$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{DC}\vert$且$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DC}$，又A，B，C，D不共线，所以四边形ABCD是平行四边形.反之，在平行四边形ABCD中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，故③正确.对于④，单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点移到同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故④正确.

13. 如图所示,四边形 $ABCD$ 为正方形,四边形 $BDCE$ 为平行四边形.

(1)与$\overrightarrow{AB}$模长相等的向量有多少个(不含$\overrightarrow{AB}$)?
(2)与$\overrightarrow{AB}$相等的向量有哪些?
(3)与$\overrightarrow{AB}$共线的向量有哪些?
(4)证明:$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BD}$.

答案： 13.
(1)解：因为四边形ABCD为正方形，四边形BDCE为平行四边形，所以$AB=BE=BC=AD=DC$，所以与$\overrightarrow{AB}$模长相等的向量有$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CB}$，共9个.
(2)解：与$\overrightarrow{AB}$相等的向量有$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DC}$.
(3)解：与$\overrightarrow{AB}$共线的向量有$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{AE}$.
(4)证明：因为四边形BDCE为平行四边形，所以$CE// DB$且$CE=DB$，所以$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BD}$.

14. 如图是 $4×3$ 的矩形(每个小方格的边长都是 $1$),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量$\overrightarrow{AB}$平行且模为$\sqrt{2}$的向量共有(C)


A.$12$ 个
B.$18$ 个
C.$24$ 个
D.$36$ 个

答案： 14. C 依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的两个向量都和$\overrightarrow{AB}$平行且模为$\sqrt{2}$.因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个.