《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

14. [2025山东聊城期中]我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对$(z_1,z_2)(z_1,z_2\in\mathbf{C})$视为一个向量，记作$\boldsymbol{a} = (z_1,z_2)$。两个复向量$\boldsymbol{a} = (z_1,z_2)$，$\boldsymbol{b} = (z_3,z_4)$的线性运算定义为$m\boldsymbol{a} + n\boldsymbol{b} = (mz_1 + nz_3,mz_2 + nz_4)(m,n\in\mathbf{R})$；两个复向量$\boldsymbol{a} = (z_1,z_2)$，$\boldsymbol{b} = (z_3,z_4)$相等定义为$z_1 = z_3$，$z_2 = z_4$；两个复向量$\boldsymbol{a} = (z_1,z_2)$，$\boldsymbol{b} = (z_3,z_4)$的积记作$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}$，定义$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b} = z_1\overline{z_3} + z_2\overline{z_4}$；复向量$\boldsymbol{a}$的模定义为$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{a}}$；若复向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$，则称复向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$平行。已知$\boldsymbol{a} = (1,i)$。
（1）若复向量$\boldsymbol{b} = (z_1,-1)(z_1\in\mathbf{C})$，$\boldsymbol{c} = (2 - i,1 + 2i)$，且$\boldsymbol{b} = m\boldsymbol{a} + n\boldsymbol{c}(m,n\in\mathbf{R})$。
①求$m,n$的值；
②判断$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$是否平行，并说明理由。
（2）若复向量$\boldsymbol{d} = (1 + i,z_2)(z_2\in\mathbf{C})$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{d}$平行，求$z_2$。

答案： 14. 解：
(1)①由题意得$b = ma + nc=(m + 2n - ni,n + mi + 2ni)=(z_1,-1)$，所以$\begin{cases}m + 2n - ni=z_1\\n + mi + 2ni=-1\end{cases}$，即$\begin{cases}n=-1\\m + 2n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}n=-1\\m=2\end{cases}$.由①知$b=(i,-1)$，所以$a + b=(1 + i,-1 + i)$，$a - b=(1 - i,1 + i)$.因为$(a + b)·(a - b)=(1 + i)(1 + i)+(-1 + i)(1 - i)=4i$，所以$|(a + b)·(a - b)| = 4$.又$|a + b|=\sqrt{(a + b)·(a + b)}=\sqrt{(1 + i,-1 + i)·(1 + i,-1 + i)}=\sqrt{(1 + i)(1 + i)+(-1 + i)(-1 + i)}=\sqrt{(1 + i)(1 - i)+(-1 + i)(-1 - i)}=\sqrt{(1 + i)(1 - i)+(1 - i)(1 + i)}=2$，同理得$|a - b|=\sqrt{(1 - i)(1 + i)+(1 + i)(1 - i)}=2$，所以$|(a + b)·(a - b)|=|(a + b)|·|(a - b)|$，故$a + b$与$a - b$平行.
(2)设$z_2=\lambda+\mu i(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$，则$\mathbf{a}·\mathbf{d}=(1,i)·(1 + i,z_2)=(1,i)·(1 + i,\lambda+\mu i)=1 - i + i(\lambda-\mu)=1 + i(\lambda-\mu - 1)$，得$|\mathbf{a}·\mathbf{d}|=\sqrt{(1+\mu)^{2}+(\lambda - 1)^{2}}$.又$|a|=\sqrt{(1,i)·(1,i)}=\sqrt{1 + i(-i)}=\sqrt{2}$，$|d|=\sqrt{(1 + i,\lambda+\mu i)·(1 + i,\lambda+\mu i)}=\sqrt{2+\lambda^{2}+\mu^{2}}$.若$\mathbf{a}$与$\mathbf{d}$平行，则$|\mathbf{a}·\mathbf{d}|=|a||d|$，即$\sqrt{(1+\mu)^{2}+(\lambda - 1)^{2}}=\sqrt{2}·\sqrt{2+\lambda^{2}+\mu^{2}}$，化简整理得$(\lambda + 1)^{2}+(\mu - 1)^{2}=0$，所以$\lambda=-1$，$\mu=1$，所以$z_2=-1 + i$.