《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

7. 如图,为了测量某湿地 $A,B$ 两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点 $C,D,E$.从点 $D$ 测得 $\angle ADC = 67.5^{\circ}$,从 $C$ 点测得 $\angle ACD = 45^{\circ},\angle BCE = 75^{\circ}$,从 $E$ 点测得 $\angle BEC = 60^{\circ}$. 现测得 $DC = 2\sqrt{3}\ km,CE = \sqrt{2}\ km$,则下列说法符合题意的是(ABD)

A.$\triangle ACD$ 是等腰三角形
B.$AC$ 是 $BC$ 的 $2$ 倍
C.$A,B$ 两点间的距离为 $4\ km$
D.$\triangle ABC$ 是直角三角形

答案： 7. ABD 在$\triangle ACD$中，因为$\angle ADC = 67.5^{\circ}$，$\angle ACD = 45^{\circ}$，所以$\angle DAC = 67.5^{\circ}$，则$AC = DC = 2\sqrt{3}$，所以$\triangle ACD$是等腰三角形.在$\triangle BCE$中，因为$\angle BCE = 75^{\circ}$，$\angle BEC = 60^{\circ}$，所以$\angle CBE = 45^{\circ}$，由正弦定理得$\frac{CE}{\sin\angle CBE}=\frac{BC}{\sin\angle BEC}$，解得$BC=\sqrt{3}$，所以$AC$是$BC$的$2$倍，故B正确；在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 60^{\circ}$，由余弦定理得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC· BC·\cos\angle ACB$，解得$AB = 3$，则有$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$成立，所以$\triangle ABC$是直角三角形，故C错误，D正确.

8. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 $a,b,c$ 求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即 $S = \sqrt{\frac{1}{4}[c^{2}a^{2}-(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2})^{2}]}$,现有 $\triangle ABC$ 满足 $\sin A:\sin B:\sin C = 2:3:\sqrt{7}$,且 $S_{\triangle ABC} = 6\sqrt{3}$,请运用上述公式判断下列结论正确的是(ABC)

A.$C = \frac{\pi}{3}$
B.$\triangle ABC$ 的周长为 $10 + 2\sqrt{7}$
C.$\triangle ABC$ 外接圆的直径为 $\frac{4\sqrt{21}}{3}$
D.$\triangle ABC$ 中线 $CD$ 的长为 $3\sqrt{2}$

答案： 8. ABC 因为$\sin A:\sin B:\sin C = 2:3:\sqrt{7}$，所以$a:b:c = 2:3:\sqrt{7}$.设$a = 2k$，$b = 3k$，$c=\sqrt{7}k$，由$S_{\triangle ABC}=6\sqrt{3}$得$\sqrt{\frac{1}{4}[c^{2}a^{2}-(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2})^{2}]}=6\sqrt{3}$，即$\sqrt{\frac{1}{4}[7k^{2}·4k^{2}-(\frac{7k^{2}+4k^{2}-9k^{2}}{2})^{2}]}=6\sqrt{3}$，解得$k = 2$，所以$a = 4$，$b = 6$，$c = 2\sqrt{7}$，所以$\cos C=\frac{16 + 36 - 28}{2×4×6}=\frac{1}{2}$，所以$C=\frac{\pi}{3}$，故A正确；$a + b + c = 10 + 2\sqrt{7}$，即$\triangle ABC$的周长为$10 + 2\sqrt{7}$，故B正确；$\triangle ABC$外接圆的直径为$\frac{c}{\sin C}=\frac{2\sqrt{7}}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{4\sqrt{21}}{3}$，故C正确；由$\cos A=\frac{36 + 28 - 16}{2×6×2\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，在$\triangle ACD$中，由余弦定理可得$CD^{2}=7 + 36 - 2×\sqrt{7}×6×\frac{2\sqrt{7}}{7}=19$，所以$\triangle ABC$中线$CD$的长为$\sqrt{19}$，故D错误.

9. 据统计,从 1932 年至 1990 年,历次所测乐山大佛高度均不一样. 某校计划开展数学建模活动,打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具:测角仪、米尺、量角器.下面是四个小组设计的测量方案,其中可能测量出大佛高度的方案有(BCD)

A.把两只佛脚底部看作 $M,N$ 两点,分别测量佛顶的仰角 $\alpha,\beta$ 和 $MN$ 之间的距离
B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为 $\alpha$,再面对大佛前行 $S\ m$,测得佛顶的仰角为 $\beta$
C.高为 $h$ 的同学站在佛脚平台上,在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角 $\alpha,\beta$
D.在佛脚平台上寻找两点 $A,B$ 分别测量佛顶的仰角 $\alpha,\beta$,再测量 $A,B$ 两点间距离和两点相对于大佛底部的张角 $\theta$

答案：
9. BCD 对于A，如果$M$，$N$两点与佛像底部不在一条直线上时，就不能测量出佛像的高度，故A错误.对于B，如图，在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为$\angle CAD=\alpha$，再面对大佛前行$AB = S m$，测得佛顶的仰角为$\angle CBD=\beta$，佛像高度为$CD$.在$\triangle CBD$中，$CB=\frac{CD}{\tan\beta}$，在$\triangle CAD$中，$CA=\frac{CD}{\tan\alpha}$，所以$CA - CB=\frac{CD}{\tan\alpha}-\frac{CD}{\tan\beta}=S m$，佛像高度$CD=\frac{S}{\frac{1}{\tan\alpha}-\frac{1}{\tan\beta}} m$，故B正确；对于C，如下图：

在$\triangle ABD$中，由正弦定理求$AD$，则佛像的高$CD = h + AD\sin\alpha$，故C正确；对于D，如下图：

在直角三角形$ADC$，$BDC$中用$CD$来表示$AC$，$BC$，再在$\triangle ABC$中由余弦定理就可以计算出佛像高度$CD$，故D正确.

10. 教材变式 位于某海域 $A$ 处的甲船获悉,在其正东方向相距 $20\ n mile$ 的 $B$ 处有一艘渔船在遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西 $30^{\circ}$,且与甲船相距 $10\ n mile$ 的 $C$ 处的乙船.乙船也立即向着遇险渔船方向航行前去营救,则 $\sin\angle ACB =$$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

答案： 10. $\frac{\sqrt{21}}{7}$ 如图，由题意知$\angle CAB = 120^{\circ}$，$AC = 10$，$AB = 20$，由余弦定理，得$CB^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2AC· AB\cos\angle CAB = 700$，则$CB = 10\sqrt{7}$.由正弦定理，得$\frac{CB}{\sin\angle CAB}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$，即$\frac{10\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sin\angle ACB}$，解得$\sin\angle ACB=\frac{\sqrt{21}}{7}$.
教材链接教材链接人教A版必修二6.4.3例11改编