《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

7. 下列各式结果为$\boldsymbol{0}$的有
(ACD)

A.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$
B.$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}$
C.$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}$
D.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$

答案： 7.ACD$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = 0$;$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB}) + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}$;$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{CO} = 0$;$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} = 0$.

8. 设$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA})=\boldsymbol{a}$，且$\boldsymbol{b}$是一个非零向量，则下列结论正确的是
(AC)

A.$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$
B.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}$
C.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}$
D.$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| ＜ |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$

答案： 8.AC因为$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = 0 = a$,而零向量与任意向量共线,且零向量加任意向量等于该向量,所以A,C正确,B,D错误.

9. 下列结论正确的是
(BD)

A.如果非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同或相反，那么$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$的方向必与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$之一的方向相同
B.在$\triangle ABC$中，必有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{0}$
C.若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{0}$，则$A$，$B$，$C$为一个三角形的三个顶点
D.在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{b}$，若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = \sqrt{2}$，则$\triangle ABC$是直角三角形

答案： 9.BD对于A,当$a$与$b$长度相同,方向相反时,$a + b = 0$,方向任意,故A错误;对于B,在$\triangle ABC$中,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = 0$,故B正确;对于C,当$A$,$B$,$C$三点共线时,满足$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = 0$,但不能构成三角形,故C错误;对于D,由于$\vert\overrightarrow{AB}\vert = \vert a\vert = 1$,$\vert\overrightarrow{BC}\vert = \vert b\vert = 1$,$\vert\overrightarrow{AC}\vert = \vert a + b\vert = \sqrt{2}$,所以$\triangle ABC$为等腰直角三角形,故D正确.

10. 已知$|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$的最大值为_，最小值为_.51

答案： 10.5 1当$a$,$b$同向时,$\vert a + b\vert_{\max} = \vert a\vert + \vert b\vert = 5$;当$a$,$b$反向时,$\vert a + b\vert_{\min} = \vert a\vert - \vert b\vert = 1$.

11. 教材变式 小船以$10 \sqrt{3}$ km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为1020km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h.小船实际航行的方向与河岸的夹角$\theta$为_.$\frac{\pi}{3}$

答案：
11.20 $\frac{\pi}{3}$如图,设小船实际航行速度为$v_0$,在静水中的速度为$v_1$,水速为$v_2$,则$v_0 = v_1 + v_2$,因为$v_1 \perp v_2$,所以$\vert v_1\vert^{2} + \vert v_2\vert^{2} = \vert v_0\vert^{2}$,得$(10\sqrt{3})^{2} + 10^{2} = \vert v_0\vert^{2}$,所以$\vert v_0\vert = 20 km/h$,即小船实际航行速度的大小为$20 km/h$.在直角三角形中$\sin\theta = \frac{\vert v_1\vert}{\vert v_0\vert} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$\theta = \frac{\pi}{3}$.
　　　　　　 　　　　　　　教材链接人教A版必修二练习6.2.1第5题改编

12. 若$P$为$\triangle ABC$的外心，且$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}$，则$\triangle ABC$的内角$C$等于_.$120^{\circ}$

答案：
12.$120^{\circ}$由图,由$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC}$,得四边形PACB是平行四边形.由点$P$是$\triangle ABC$的外心,得$PA = PB = PC$,则$□ PACB$是菱形,因此$\triangle APC$,$\triangle BPC$都是正三角形,则$\angle ACP = \angle BCP = 60^{\circ}$,所以$\angle ACB = 120^{\circ}$.
　　　　　　　

13. 如图，按下列要求作答.

(1)以$A$为始点，作出$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$;
(2)以$B$为始点，作出$\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e}$;
(3)若图表中小正方形边长为1，求$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，$|\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e}|$.

答案：
13.解:
(1)将$a$,$b$的起点同时平移到点$A$,利用平行四边形法则作出$a + b$,如图.
　　
(2)先将共线向量$c$,$d$的起点同时平移到点$B$,计算出$c + d$,再平移向量$e$与之首尾相接,利用三角形法则即可作出$c + d + e$,如图.
　　
(3)由$a$是单位向量可知$\vert a\vert = 1$,根据作出的向量利用勾股定理可知,$\vert a + b\vert = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$,利用图示的向量和勾股定理可知,$\vert c + d + e\vert = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$

14. 已知单位向量$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$，$·s$，$\boldsymbol{e}_{2025}$，则$|\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+·s+\boldsymbol{e}_{2025}|$的最大值是_，最小值是_.20250

答案： 14.2025 0当单位向量$e_1$,$e_2$,$·s$,$e_{2025}$方向相同时,$\vert e_1 + e_2 + ·s + e_{2025}\vert = \vert e_1\vert + \vert e_2\vert + ·s + \vert e_{2025}\vert = 2025$;当单位向量$e_1$,$e_2$,$·s$,$e_{2025}$依次首尾相连时,$e_1 + e_2 + ·s + e_{2025} = 0$,所以$\vert e_1 + e_2 + ·s + e_{2025}\vert$的最小值为$0$.