《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

14. 如图,$ AB $是圆$ O $的直径,点$ C $是圆$ O $上的动点,过动点$ C $的直线$ VC $垂直于圆$ O $所在平面,$ D $,$ E $分别是$ VA $,$ VC $的中点,$ AB = VC = 4 $.
(1)判断$ DE $和平面$ VBC $的关系,并说明理由；
(2)若$ AC = 2BC $,求点$ A $到平面$ DEB $的距离.

答案：
14. 解：
(1)$DE\perp$平面$VBC$。理由如下：因为$VC\perp$平面$ABC$，$AC\subset$平面$ABC$，所以$VC\perp AC$；又$AB$是圆$O$的直径，点$C$是圆$O$上的动点，所以$AC\perp BC$；在$\triangle VAC$中，$D$，$E$分别是$VA$，$VC$的中点，所以$DE// AC$，所以$VC\perp DE$，$DE\perp BC$，又$VC$，$BC\subset$平面$VBC$，$VC\cap BC = C$，所以$DE\perp$平面$VBC$。
(2)由
(1)知$AC\perp BC$。在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 + BC^2 = (2BC)^2 + BC^2 = AB^2 = 16$，所以$BC^2 = \frac{16}{5}$，即$BC = \frac{4\sqrt{5}}{5}$，所以$AC = 2BC = \frac{8\sqrt{5}}{5}$。连接$BE$，$BD$，如图所示。
　　　　　　　　　
第八章　立体几何初步
因为在$\triangle VAC$中，$D$，$E$分别是$VA$，$VC$的中点，所以$DE// AC$。又因为$DE\subset$平面$DEB$，$AC\not\subset$平面$DEB$，所以$AC//$平面$DEB$，所以点$A$到平面$DEB$的距离为点$C$到平面$DEB$的距离。在平面$VBC$内，过点$C$作$CH\perp BE$，由
(1)知，$DE\perp$平面$VBC$，又因为$CH\subset$平面$VBC$，所以$DE\perp CH$。因为$DE$，$BE\subset$平面$DEB$，$DE\cap BE = E$，所以$CH\perp$平面$DEB$，所以$CH$的长即点$C$到平面$DEB$的距离。因为$VC\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$VC\perp BC$。在$Rt\triangle BCE$中，$BE = \sqrt{BC^2 + CE^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{5}}{5})^2 + 2^2}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。因为$\sin\angle BEC = \frac{BC}{BE}=\frac{CH}{CE}$，所以$CH = \frac{BC· CE}{BE}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}×2}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}=\frac{4}{3}$，所以点$A$到平面$DEB$的距离为$\frac{4}{3}$。