《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

14. 创新情景 祖暅在求球体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.更详细点说就是:界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,那么这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.

(1)如图1,在一个半径为3的半球体中,挖去一个半径为$\frac {3}{2}$的球体,求剩余部分的体积;
(2)如图2,由抛物线$y=\frac {1}{3}x^{2}(-3≤x≤3)$跟线段$y=3(-3≤x≤3)$围成一个几何形,将该几何形绕y轴旋转得到一个抛物线旋转体,请运用祖暅原理求该旋转体的体积.

答案：
14. 解：
(1)依题意，剩余部分的体积$V_1= \frac{1}{2} × \frac{4}{3} \pi × 3^3- \frac{4}{3} \pi × (\frac{3}{2})^3= \frac{27 \pi}{2}$.
(2)图 1 阴影部分是由长方形$ABCD$（长为 6，宽为 3）和抛物线$y= \frac{1}{3}x^2$围成，图 2 阴影部分是由半径为 3 的半圆$O$和直径为 3 的圆$P$围成的.
　　
将图 1 绕$y$轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分的几何体记为$M$，将图 2 以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球的几何体记为$N$.将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面或与半球大圆距离为$t(0＜t＜3)$的平面截两个几何体，可得截面都为圆环，纵截面图如下：

几何体$M$的截面面积为$ \pi × 3^2- \pi × ( \sqrt{3}t)^2=9 \pi-3t \pi$，几何体$N$的截面面积为$ \pi × ( \sqrt{9-t^2})^2- \pi × [\sqrt{(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2}-t)^2}]^2=9 \pi-3t \pi$，又两个几何体等高，由祖暅原理可得两几何体的体积相等，结合
(1)可知几何体$M$的体积$V_M=V_1= \frac{27 \pi}{2}$，而由抛物线$y= \frac{1}{3}x^2(-3 \leq x \leq 3)$跟线段$y=3(-3 \leq x \leq 3)$围成一个几何形，将该几何形绕$y$轴旋转得到一个抛物线旋转体，是由一个圆柱（底面半径为 3，高为 3）减去几何体$M$，所以所求的体积$V_2= \pi × 3^2 × 3-V_M=27 \pi- \frac{27 \pi}{2}= \frac{27 \pi}{2}$.