《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 下列图形中，不是三棱柱的展开图的是(C)

答案： 1. C 由三棱柱的展开图易知选项C不正确.

2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为(B)

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
2. B 在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，易知$A_1 - BDC_1$为正四面体，如图所示.不妨设正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的棱长为$a$，则正四面体$A_1 - BDC_1$的棱长为$\sqrt{2}a$，所以正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的表面积为$6a^2$，正四面体$A_1 - BDC_1$的表面积为$4 × \frac{1}{2} × (\sqrt{2}a)^2 × \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}a^2$，所以正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为$\frac{6a^2}{2\sqrt{3}a^2} = \sqrt{3}$.

3. 已知平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 的体积为 4，若将其截去三棱锥 $C_1 - B_1BD_1$，则剩余几何体的体积为(C)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{5}{6}$

答案：
3. C 如图，设点$D_1$到平面$BCC_1B_1$的距离为$h$，四边形$BCC_1B_1$的面积为$S$，显然有$4 = Sh$，所以$V_{三棱锥C - B_1BD} = V_{三棱锥D - B_1C_1C} = \frac{1}{3} · \frac{1}{2} S · h = \frac{2}{3}$，因此剩余部分几何体的体积为$4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.

方法总结：在立体几何中，求三棱锥体积的一种常用策略：通过转换底面使新底面所对应的高更容易求解.

4. 已知在正四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，截面 $BDD_1B_1$ 是边长为 $2\sqrt{2}$ 的正方形，则正四棱柱的体积为(D)

A.$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{8\sqrt{2}}{3}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$8\sqrt{2}$

答案：
4. D 如图，设正四棱柱的底面边长为$a(a ＞ 0)$.因为截面$BDD_1B_1$是边长为$2\sqrt{2}$的正方形，所以$DD_1 = DB = 2\sqrt{2}$，则$\sqrt{a^2 + a^2} = 2\sqrt{2}$，解得$a = 2$，所以正四棱柱的体积$V = S · h = a^2 · DD_1 = 8\sqrt{2}$.

5. 如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知 $AB = 8$ cm，$A_1B_1 =$ 20 cm，棱台的高为 8 cm. 现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为 0.5 元，则该零部件的防腐处理费用是(B)

A.640 元
B.512 元
C.390 元
D.347.5 元

答案： 5. B 在正四棱台$A_1B_1C_1D_1 - ABCD$中，$AB = 8cm$，$A_1B_1 = 20cm$，高为$8cm$，则侧面的斜高为$h' = \sqrt{8^2 + (\frac{20 - 8}{2})^2} = 10(cm)$，所以$S_{四边形BCC_1B_1} = \frac{1}{2} × (BC + B_1C_1) × h' = \frac{1}{2} × (8 + 20) × 10 = 140(cm^2)$.所以该四棱台的表面积为$S = 8^2 + 20^2 + 4 × 140 = 1024(cm^2)$.又每平方厘米的防腐处理费用为$0.5$元，所以该零部件的防腐处理费用是$1024 × 0.5 = 512$(元).

6. 小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱 $ABC - DEF - A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱 $ABCDEF - A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，如图所示. 设直棱柱的体积和侧面积分别为 $V_1$ 和 $S_1$，斜棱柱的体积和侧面积分别为 $V_2$ 和 $S_2$，则(A)



A.$\frac{V_1}{S_1} ＞ \frac{V_2}{S_2}$
B.$\frac{V_1}{S_1} ＜ \frac{V_2}{S_2}$
C.$\frac{V_1}{S_1} = \frac{V_2}{S_2}$
D.$\frac{V_1}{S_1}$ 与 $\frac{V_2}{S_2}$ 的大小关系无法确定

答案： 6. A 设底面面积为$S$，底面周长为$C$，则$V_1 = S · AA_1$，$S_1 = C · AA_1$，所以$\frac{V_1}{S_1} = \frac{S}{C}$.设斜棱柱的高为$h$，则$V_2 = S · h$，$S_2 = AB · h_{AB} + BC · h_{BC} + CD · h_{CD} + DE · h_{DE} + EF · h_{EF} + FA · h_{FA} ＞ (AB + BC + CD + DE + EF + FA) · h = C · h$，所以$\frac{V_2}{S_2} ＜ \frac{S · h}{C · h} = \frac{V_1}{S_1}$.