《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

12. 东汉·王充《论衡·宜汉篇》:“且孔子所谓一世,三十年也”,当代中国学者测算“一代”平均为 25 年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示,全球家庭企业的平均寿命其实只有 24 年,其中只有约 30%的家族企业可以传到第二代,能够传到第三代的家族企业数量为总量的 13%,只有 5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料,可以推断美国学者认为“一代”应为20年.

答案： 12. 20 设美国学者认为的一代为x年，然后可得出寿命在(0,x]，(x,2x]，(2x,3x]，[3x,4x]的家族企业的频率分别为0.52，0.3，0.13，0.05，则家族企业的平均寿命为0.5x × 0.52+1.5x × 0.3+2.5x × 0.13+3.5x × 0.05=1.21x=24，解得$x \approx 20，$因此，美国学者认为“一代”应为20年.

13. 某高校就业部从该校 2023 年已就业的博士研究生的毕业生中随机抽取了 200 人进行问卷调查,其中一项是他们的月薪收入情况,调查发现,他们的月薪收入在人民币 1.65 万元到 2.35 万元之间,根据统计数据分组,得到如下的频率分布直方图.
(1)将同一组数据用该组区间的中点值作代表,求这 200 人月薪收入的样本平均数 $ \overline{x} $.
(2)该校在某地区就业的 2023 届博士研究生的毕业生共 100 人,决定于 2024 年五一劳动节长假期间举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用,有两种收费方案:
方案一:设区间 $ \Omega = [1.85,2.15) $,月薪落在区间 $ \Omega $ 左侧的每人收取 400 元,月薪落在区间 $ \Omega $ 内的每人收取 600 元,月薪落在区间 $ \Omega $ 右侧的每人收取 800 元;
方案二:每人按月薪收入的样本平均数的 3%收取.
用该校就业部统计的这 200 人月薪收入的样本频率进行估算,采用哪一种收费方案能收到更多的费用?

答案： 13. 解：
(1)根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得这200人月薪收入的样本平均数$\bar{x}=0.02 × 1.7+0.10 × 1.8+0.24 × 1.9+0.31 × 2+0.2 × 2.1+0.09 × 2.2+0.04 × 2.3=2($万元)，
(2)方案一：对月薪落在区间$\Omega$左侧的人共收活动费用约为(0.02+0.10) × 100 × 400 ÷ 10000=0.48(万元)；对月薪落在区间$\Omega$内的共收活动费用约为(0.24+0.31+0.20) × 100 × 600 ÷ 10000=4.5(万元)；对月薪落在区间$\Omega$右侧的人共收活动费用约为(0.09+0.04) × 100 × 800 ÷ 10000=1.04(万元).因此采用方案一这100人共收活动费用约为0.48+4.5+1.04=6.02(万元)；
方案二：这100人共收活动费用约为$\bar{x} · 3\% × 100=2 × 0.03 × 100=6($万元).
因为6.02＞6，所以采用方案一能收到更多的费用.