《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

9. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则下列判断正确的是 (AB)

A.若 c sin C + b sin B = a sin A,则△ABC 是直角三角形
B.若 a cos B = c + b cos A,则△ABC 是直角三角形
C.若 cos C/c + cos B/b = a sin A/(bc),则△ABC 的形状为等边三角形
D.若 sin B/2 = 1/2,且 a sin B = c sin A,则△ABC 为等腰直角三角形

答案： 9. AB 对于A，因为$c\sin C + b\sin B = a\sin A$，所以由正弦定理得$c^2 + b^2 = a^2$，则$\triangle ABC$是直角三角形，A正确；对于B，因为$a\cos B = c + b\cos A$，所以由正弦定理得$\sin A\cos B=\sin C+\sin B\cos A$，即$\sin A\cos B - \sin B\cos A=\sin C$，则$\sin(A - B)=\sin C$，所以$A - B = C$或$A - B + C=\pi$，又$A + B + C=\pi$，因此$A=\frac{\pi}{2}$或$B = 0$（舍去），故$\triangle ABC$是直角三角形，B正确；对于C，由$\frac{\cos C}{c}+\frac{\cos B}{b}=\frac{a\sin A}{bc}$，得$b\cos C + c\cos B = a\sin A$，由正弦定理得$\sin B\cos C+\sin C\cos B=\sin(B + C)=\sin A=\sin^2A$，又$\sin A\neq0$，所以$\sin A = 1$，所以$A=\frac{\pi}{2}$，故$\triangle ABC$为直角三角形，C错误；对于D，由$\sin\frac{B}{2}=\frac{1}{2}$，$\frac{B}{2}\in(0,\frac{\pi}{2})$，得$\frac{B}{2}=\frac{\pi}{6}$，即$B=\frac{\pi}{3}$，又$a\sin B = c\sin A$，由正弦定理得$2R\sin A\sin B = 2R\sin C\sin A$，而$\sin A\neq0$，则$\sin B=\sin C$，则$b = c$，所以$\triangle ABC$为等边三角形，D错误.

10. 在△ABC 中,A=π/6,AB=4,若此三角形恰有两解,则边 BC 长度的取值范围为(2, 4).

答案：
10. (2, 4) 如图，若$\triangle ABC$恰有两解，则$AB·\sin\frac{\pi}{6}＜BC＜AB$，即$2＜BC＜4$.

11. 在△ABC 中,D 是线段 AB 上一点,且 2AD=DB,记∠ACD=α,∠BCD=β,若 3 sin α = 2 sin β,则 AC/BC=$\frac{3}{4}$.

答案：
11. $\frac{3}{4}$ 如图，由正弦定理得$\frac{AD}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin\angle ADC}$，$\frac{BD}{\sin\beta}=\frac{BC}{\sin\angle CDB}$，即$AC=\frac{AD\sin\angle ADC}{\sin\alpha}$，$BC=\frac{BD\sin\angle CDB}{\sin\beta}$.因为$2AD = DB$，$3\sin\alpha = 2\sin\beta$，$\sin\angle ADC=\sin\angle CDB$，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\beta}{\frac{3}{2}\sin\alpha}=\frac{3}{4}$.

12. 在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 (2a - c)/3 = cos C/cos B,且 b=3,则△ABC 的周长的最大值为9.

答案： 12. 9 由$\frac{2a - c}{3}=\frac{\cos C}{\cos B}$，$b = 3$，得$\frac{2a - c}{b}=\frac{\cos C}{\cos B}$，根据正弦定理得$\frac{2\sin A - \sin C}{\sin B}=\frac{\cos C}{\cos B}$，整理得$2\sin A\cos B=\sin B\cos C+\sin C\cos B=\sin(B + C)=\sin A$.因为$A,B\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\sin A＞0$，所以$2\cos B = 1$，解得$B=\frac{\pi}{3}$.由$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，得$a = 2\sqrt{3}\sin A$，$c = 2\sqrt{3}\sin C$，则$\triangle ABC$的周长为$3 + 2\sqrt{3}(\sin A+\sin C)=3 + 2\sqrt{3}[\sin A+\sin(\frac{2\pi}{3}-A)]=3 + 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{3}{2}\sin A)=3 + 6\sin(A+\frac{\pi}{6})$.因为$\triangle ABC$为锐角三角形，则$0＜A＜\frac{\pi}{2}$，且$0＜C=\frac{2\pi}{3}-A＜\frac{\pi}{2}$，得$\frac{\pi}{6}＜A＜\frac{\pi}{2}$，则$A+\frac{\pi}{6}\in(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$，所以$\sin(A+\frac{\pi}{6})\in(\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，则当$A=\frac{\pi}{3}$时，$\triangle ABC$的周长取最大值9.

13. 记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,√{3}a cos C + a sin C = √{3}b.
(1)求角 A 的大小;
(2)若点 D 在边 BC 的延长线上,且∠CAD=∠BAC,证明:1/AC = 1/AB + 1/AD.

答案： 13.
(1)解：因为$\sqrt{3}a\cos C + a\sin C=\sqrt{3}b$，所以由正弦定理得$\sqrt{3}\sin A\cos C+\sin A\sin C=\sqrt{3}\sin B$，又$\sin B=\sin(A + C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$，所以$\sin A\sin C=\sqrt{3}\sin C\cos A$.又$\sin C\neq0$，所以$\tan A=\sqrt{3}$.因为$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.
(2)证明：因为$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}$，所以$\frac{1}{2}AB· AD·\sin\angle BAD=\frac{1}{2}AB· AC\sin\angle BAC+\frac{1}{2}AC· AD·\sin\angle CAD$，所以$\frac{\sin\angle BAD}{AC}=\frac{\sin\angle BAC}{AD}+\frac{\sin\angle CAD}{AB}$.由
(1)知$\angle BAC=\frac{\pi}{3}$，所以$\angle BAD=\frac{2\pi}{3}$，所以$\sin\angle BAD=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$\sin\angle BAC=\sin\angle CAD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}$.

14. 记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若边 AC 上的高为 h,且满足 h² = 1/3 a c cos A cos C,则 tan A tan C=$\frac{1}{3}$.

答案： 14. $\frac{1}{3}$ 因为$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bh$，所以$a^{2}c^{2}\sin^{2}B=b^{2}h^{2}$.又$h^{2}=\frac{1}{3}ac\cos A\cos C$，所以$a^{2}c^{2}\sin^{2}B=\frac{1}{3}b^{2}ac\cos A\cos C$，即$ac\sin^{2}B=\frac{1}{3}b^{2}\cos A·\cos C$.由正弦定理得$(2R\sin A)·(2R\sin C)\sin^{2}B=\frac{1}{3}(2R\sin B)^{2}\cos A\cos C$，即$\sin A\sin C=\frac{1}{3}\cos A\cos C$，所以$\tan A\tan C=\frac{1}{3}$.