《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

10. 设$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$.若$a = 2,c = 2\sqrt{3},\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$,则角$B$的大小为$30^{\circ}$或$90^{\circ}$.

答案： 10. $30^{\circ}$或$90^{\circ}$ 由余弦定理得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，即$4=b^{2}+12 - 6b$，即$b^{2}-6b + 8 = 0$，解得$b = 2$或$b = 4$。若$b = 2$，又$a = 2$，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$B = A=30^{\circ}$；若$b = 4$，则$b^{2}=a^{2}+c^{2}$，所以$B = 90^{\circ}$。综上，$B = 30^{\circ}$或$B = 90^{\circ}$。

11. 在$\triangle ABC$中,$D$在边$AB$上,$CD$平分$\angle ACB$,若$AC = 2,BC = 1$,且$CD = \frac{2\sqrt{3}}{3}$,则$AB =$$\sqrt{3}$.

答案：
11. $\sqrt{3}$ 由题意，如图，设$BD = x$，则$AD = 2x$，因为$\angle ACD=\angle BCD$，所以由余弦定理可得$\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2AC· CD}=\frac{CD^{2}+BC^{2}-BD^{2}}{2CD· BC}$，即$\frac{4+(\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}-4x^{2}}{2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{(\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}+1-x^{2}}{2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×1}$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$BD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$AD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则$AB=AD + DB=\sqrt{3}$。

12. 在$\triangle ABC$中,已知$AB = 4,AC = 7$,边$BC$上的中线$AD = \frac{7}{2}$,那么$BC =$9.

答案： 12. 9 解法1 由$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，得$\overrightarrow{AD}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}+2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}+2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos\angle BAC)$，即$\frac{49}{4}=\frac{1}{4}×(4^{2}+7^{2}+2×4×7×\cos\angle BAC)$，得$\cos\angle BAC=-\frac{2}{7}$。由余弦定理，得$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB· AC\cos\angle BAC=4^{2}+7^{2}-2×4×7×(-\frac{2}{7})=81$，所以$BC = 9$。
解法2 设$BD = CD = x$，在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，由余弦定理得$\cos\angle ADB=\frac{AD^{2}+BD^{2}-AB^{2}}{2AD· BD}=\frac{\frac{49}{4}+x^{2}-16}{2×\frac{7}{2}x}$，$\cos\angle ADC=\frac{AD^{2}+CD^{2}-AC^{2}}{2AD· CD}=\frac{\frac{49}{4}+x^{2}-49}{2×\frac{7}{2}x}$。因为$\angle ADB+\angle ADC=\pi$，所以$\frac{\frac{49}{4}+x^{2}-16}{2×\frac{7}{2}x}=-\frac{\frac{49}{4}+x^{2}-49}{2×\frac{7}{2}x}$，解得$x=\frac{9}{2}$，所以$BC = 9$。

13. 在$\triangle ABC$中,内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,已知$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)若$b = \sqrt{3},c = 2$,求$a$的值;
(2)若$\frac{a^{2}}{bc} = 2 - \sqrt{3}$,求角$B,C$的大小.

答案： 13. 解：
(1)因为$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=\sqrt{3}$，$c = 2$，所以$\frac{7 - a^{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$a = 1$。
(2)因为$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{a^{2}}{bc}=2-\sqrt{3}$，所以$\frac{b^{2}+c^{2}-(2-\sqrt{3})bc}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{(b - c)^{2}}{2bc}=0$，即$(b - c)^{2}=0$，所以$b = c$，则$\triangle ABC$为等腰三角形，又$A=\frac{\pi}{6}$，所以$B = C=\frac{5\pi}{12}$。

14. 海伦不仅是古希腊的数学家,还是一位优秀的测绘工程师. 在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式,即著名的海伦公式:$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$,这里$p = \frac{1}{2}(a + b + c),a,b,c$分别为$\triangle ABC$的三个角$A,B,C$所对的边,该公式具有轮换对称的特点. 已知$\triangle ABC$中,$p = 12,c = 9,\cos A = \frac{2}{3}$,则该三角形内切圆半径为 (D)

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{5}$

答案： 14. D 因为$p=\frac{1}{2}(a + b + c)$，所以$a + b + c = 24$，又$c = 9$，所以$a + b = 24 - c = 15$，又$\cos A=\frac{2}{3}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，所以$\frac{b^{2}+9^{2}-a^{2}}{2×9b}=\frac{2}{3}$，即$(b - a)(b + a)+81 = 12b$，又$a + b = 15$，所以$15(b - a)+81 = 12b$，解得$a = 7$，$b = 8$，所以$S=\sqrt{12×(12 - 7)×(12 - 8)×(12 - 9)}=12\sqrt{5}$，所以$r=\frac{2S}{a + b + c}=\frac{24\sqrt{5}}{24}=\sqrt{5}$。