《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

13. 如图，在四面体 $ABCD$ 中，$AC = BD = a$，$AC$ 与 $BD$ 所成的角为 $60^{\circ}$，$M$，$N$ 分别为 $AB$，$CD$ 的中点，求线段 $MN$ 的长.

答案：
13. 解：取BC的中点E，连接EM,EN，如图.因为M,E分别为AB,BC的中点，所以ME//AC，ME = $\frac{1}{2}$AC.同理可得EN//BD，EN = $\frac{1}{2}$BD，所以∠MEN为异面直线AC与BD所成的角或其补角，则∠MEN = 60°或120°.在△MEN中，EM = EN = $\frac{a}{2}$.若∠MEN = 60°，则△MEN为等边三角形，此时，MN = $\frac{a}{2}$；若∠MEN = 120°，由余弦定理可得MN = $\sqrt{EM^{2}+EN^{2}-2EM· EN\cos120^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.综上所述，MN = $\frac{a}{2}$或MN = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
　　　　　　　　　

14. 如图，在正三棱柱 $ABC - A'B'C'$ 中，$E$ 为棱 $AC$ 的中点，$AB = BB' = 2$. 求证：$BE\perp AC'$.

答案：
14. 证明：如图，取CC'的中点F，连接EF,BF.因为E为AC的中点，F为CC'的中点，所以EF//AC'，即∠BEF为异面直线BE与AC'所成角，且EF = $\frac{1}{2}$AC'.在正三棱柱ABC - A'B'C'中，因为AC' = $2\sqrt{2}$，所以EF = $\sqrt{2}$.BE = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，又因为在Rt△BCF中，BF = $\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，所以在△BEF中，BE²+EF²=BF²，即BE⊥EF，所以BE⊥AC'.