《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

14. 如图,在四棱锥$P - ABCD$中,底面$ABCD$为正方形,$PA⊥$平面$ABCD$,$AE⊥PB$,$F$为棱$PC$上一动点.
(1)判断平面$AEF$与平面$PBC$是否相互垂直? 如果垂直,请证明;如果不垂直,请说明理由.
(2)若$E$为$PB$的中点,求二面角$E - AC - B$的余弦值.

答案：
14.解：
(1)垂直.理由如下：因为$PA\perp$平面$ABCD$，$BC\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp BC$.又四边形$ABCD$是正方形，所以$AB\perp BC$.因为$PA\cap AB = A$，$PA\subset$平面$PAB$，$AB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp$平面$PAB$.又$AE\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp AE$.因为$AE\perp PB$，$PB\cap BC = B$，$PB\subset$平面$PBC$，$BC\subset$平面$PBC$，所以$AE\perp$平面$PBC$.又$AE\subset$平面$AEF$，所以平面$AEF\perp$平面$PBC$.
(2)如图，连接$BD$交$AC$于点$O$，过$E$作$EM\perp AB$于点$M$，过$M$作$MN\perp AC$于点$N$，连接$EN$.

因为$PA\perp$平面$ABCD$，$AB\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp AB$.又$EM// PA$，所以$EM\perp$平面$ABCD$.又$AC\subset$平面$ABCD$，所以$EM\perp AC$.因为$MN\perp AC$，$MN\cap EM = M$，$MN,EM\subset$平面$EMN$，所以$AC\perp$平面$EMN$.又$EN\subset$平面$EMN$，所以$AC\perp EN$，所以$\angle ENM$为二面角$E - AC - B$的平面角.因为$E$为$PB$的中点，$AE\perp PB$，所以$PA = AB$.设$AB = 2$，则$EM = 1$，易知$MN=\frac{1}{4}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$.在$Rt\triangle EMN$中，$NE=\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以$\cos\angle ENM=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即二面角$E - AC - B$的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.