《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. (易错易混)已知$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$是两个不共线的向量,向量$\boldsymbol{b}-t\boldsymbol{a}$与$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-(\frac{1}{2}+t)\boldsymbol{b}$方向相同,则$t=$(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$或$-1$
D.$1$

答案： 1. B 由$a,b$不共线，易知向量$\frac{1}{2}a - \left( \frac{1}{2} + t \right)b$为非零向量， 由向量$b - ta$与$\frac{1}{2}a - \left( \frac{1}{2} + t \right)b$方向相同，可知存在实数$\lambda$，使得$b - ta = \lambda\left[ \frac{1}{2}a - \left( \frac{1}{2} + t \right)b \right]$，即$\left( \frac{1}{2}\lambda + t \right)a = \left( \frac{1}{2}\lambda + \lambda + 1 \right)b$。由$a,b$不共线，得必有$\frac{1}{2}\lambda + t = \frac{1}{2}\lambda + \lambda + 1 = 0$，解得$t = -\frac{1}{2}$或$t = - 1$。当$t = \frac{1}{2}$时，两向量分别为$b - \frac{1}{2}a,\frac{1}{2}a - b$，方向相反，与题意不符；当$t = - 1$时，两向量分别为$b + a,\frac{1}{2}b + \frac{1}{2}a$，方向相同，符合题意。因此，当向量$b - ta$与$\frac{1}{2}a - \left( \frac{1}{2} + t \right)b$方向相同时，$t = - 1$。
易错警示：求解参数问题，要养成检验的习惯，否则容易出错。

2. 已知非零向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{b}|\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$,则$\frac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}=$(B)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$4$

答案： 2. B 由$\vert a\vert b - \vert b\vert a = a - 2b$，得$(\vert a\vert + 2)b = (\vert b\vert + 1)a$，则$a,b$共线，因此$(\vert a\vert + 2)\vert b\vert = (\vert b\vert + 1)\vert a\vert$，整理得$2\vert b\vert = \vert a\vert$。又$a,b$为非零向量，所以$\frac{\vert b\vert}{\vert a\vert} = \frac{1}{2}$。

3. 已知$\triangle ABC$的三个顶点$A$,$B$,$C$及平面内一点$P$满足$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}$,则$\triangle ABP$与$\triangle ABC$的面积之比为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 3. B 因为$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PA}$，即$\overrightarrow{PC} = - 2\overrightarrow{PA}$，所以点$P$是边$AC$上靠近点$A$的三等分点，所以$PA = \frac{1}{3}AC$。因为$\triangle ABP$的边$PA$上的高与$\triangle ABC$的边$AC$上的高相等，所以$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC} = AP:AC = \frac{1}{3}$。
方法总结：同(等)底或同(等)高的三角形面积之比等于对应高或底边之比。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$P$是边$AB$上一点,$Q$是边$BC$的中点,$AQ$与$CP$交于点$M$,有下列四个说法:甲:$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MQ}$;乙:$\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{MP}$;丙:$S_{\triangle APM}:S_{\triangle MQC}=1:3$;丁:$2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CP}$.若其中有且仅有一个说法是错误的,则该错误的说法为(A)

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： 4. A 若$AM = 2MQ$，则点$M$是$\triangle ABC$的重心，则$CM = 2MP$，所以甲、乙中必有一个是错误的，所以丙、丁正确。由丁：$2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 3\overrightarrow{CP}$，得$2(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CP}) = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CB}$，即$2\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{BP}$，知$P$不是边$AB$的中点，所以甲说法错误。

5. 在$\triangle ABC$中,已知$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{MC}$,点$P$在线段$BM$上,若$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,则$\lambda=$(C)

A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$3$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 5. C 当$\lambda = 1$时，$A,P,B$三点共线，与题意矛盾，所以$\lambda \neq 1$。由$\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{MC}$，得$\overrightarrow{AC} = \frac{\lambda}{\lambda - 1}\overrightarrow{AM}$，则$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2\lambda}{5(\lambda - 1)}\overrightarrow{AM}$。因为$B,P,M$三点共线，所以$\frac{2}{5} + \frac{2\lambda}{5(\lambda - 1)} = 1$，解得$\lambda = 3$。

6. 已知$O$为$\triangle ABC$内一点,且满足$\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}+(\lambda - 1)\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$,若$D$是$BC$的中点,$\triangle OAB$的面积与$\triangle ACD$的面积的比值为$\frac{1}{4}$,则$\lambda$的值为(B)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$

答案：
6. B 如图，取$AB$的中点$E$，连接$DE$，则$DE// AC$。由$\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB} + (\lambda - 1)\overrightarrow{OC} = 0$，得$\lambda(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AC}$，则$2\lambda\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{ED} = \lambda\overrightarrow{OD}$，则$\overrightarrow{EO} = \overrightarrow{ED} - \overrightarrow{OD} = (\lambda - 1)\overrightarrow{OD}$。因为$\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle ABD}} = \frac{OE}{DE} = \lambda - 1$，又$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$，所以$\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{\lambda - 1}{\lambda} = \frac{1}{4}$，解得$\lambda = \frac{4}{3}$。

方法总结：对于向量$\overrightarrow{BC} = \lambda\overrightarrow{BA}(\lambda \in R)$，当$\lambda ＜ 0$时，点$C$在线段$BA$的反向延长线上；当$0 \leq \lambda \leq 1$时，点$C$在线段$BA$上；当$\lambda ＞ 1$时，点$C$在线段$BA$的延长线上。

7. 已知点$O$在直线$AB$外,$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$,则(ABC)

A.若$\lambda+\mu\neq1$,则点$C$在直线$AB$外
B.若$\lambda+\mu=1$,且$0\leqslant\lambda\leqslant1$,则点$C$在线段$AB$上
C.若$\lambda+\mu=1$,且$\lambda\lt0$,则点$C$在射线$AB$上
D.若$\lambda+\mu=1$,且$\lambda\gt1$,则点$C$在射线$AB$上

答案： 7. ABC 假设点$C$在直线$AB$上，且$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + k(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = (1 - k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB}$，又$\overrightarrow{OC} = \lambda\overrightarrow{OA} + \mu\overrightarrow{OB}$，所以$\lambda = 1 - k,\mu = k$，即$\lambda + \mu = 1$，与条件中$\lambda + \mu \neq 1$矛盾，故假设不成立，即点$C$不在直线$AB$上，故A正确；若$\lambda + \mu = 1$，则$\overrightarrow{OC} = \lambda\overrightarrow{OA} + \mu\overrightarrow{OB} = \lambda\overrightarrow{OA} + (1 - \lambda)·\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} + \lambda(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OB} + \lambda\overrightarrow{BA}$，所以$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \lambda\overrightarrow{BA}$，即$\overrightarrow{BC} = \lambda\overrightarrow{BA}$，故$B,C,A$三点共线，且当$0 \leq \lambda \leq 1$时，$BC$与$BA$同向且$\vert\overrightarrow{BC}\vert \leq \vert\overrightarrow{BA}\vert$，所以点$C$在线段$AB$上，故B正确；当$\lambda ＜ 0$时，$\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$反向，所以点$C$在线段$AB$的延长线上，故C错误；当$\lambda ＞ 1$时，$\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$同向且$\vert\overrightarrow{BC}\vert ＞ \vert\overrightarrow{BA}\vert$，所以点$C$在线段$BA$的延长线上，故D错误。