《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

9. 下列命题正确的是(BC)

A.用平面α截一个球,所得到的截面面积为π,若球心到这个截面的距离为$\sqrt {3}$,则该球的体积为$\frac {16}{3}π$
B.圆锥底面半径为3,体积为3π,若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上,则球O的表面积为100π
C.圆锥的底面半径为6,母线线长为10,则其内切球半径为3
D.圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则球的体积与圆柱的体积之比为$\frac {3}{4}$

答案：
9. BC 对于 A，由于截面面积为$ \pi$，故截面圆的半径为$r=1$，球心到这个截面的距离为$h= \sqrt{3}$，故球半径为$R= \sqrt{r^2+h^2}= 2$，故球的体积为$\frac{4}{3} \pi R^3= \frac{32}{3} \pi$，A 错误.对于 B，设圆锥的高为$h$，因为圆锥的体积为$3 \pi$，所以$\frac{1}{3} \pi × 3^2 × h=3 \pi$，解得$h=1$，如图，设圆锥的外接球的半径为$R$，可得$R^2=r^2+(R-h)^2$，即$R^2=3^2+(R-1)^2$，解得$R=5$，所以外接球的表面积为$S=4 \pi R^2=4 \pi × 5^2=100 \pi$，B 正确.

对于 C，如图所示，设球$O$与圆锥底面相切于点$N$，与母线$BS$相切于点$M$，根据已知得$BN=6$，$BS=10$，则在$Rt \triangle SBN$中，$SN=8$，设内切球半径为$r$，因为$\triangle SNB \backsim \triangle SMO$，所以$\frac{OS}{OM}= \frac{BS}{BN}$，即$\frac{8-r}{r}= \frac{10}{6}$，解得$r=3$，C 正确.

对于 D，设球的半径为$R$，则圆柱的底面半径为$R$，高为$2R$，所以球的体积$V_{球}= \frac{4}{3} \pi R^3$，圆柱的体积$V_{圆柱}= \pi R^2 × 2R=2 \pi R^3$，所以$\frac{V_{球}}{V_{圆柱}}= \frac{ \frac{4}{3} \pi R^3}{2 \pi R^3}= \frac{2}{3}$，D 错误.

10. 已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形,往容器内注水后水面高度为3.若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球,则此时水面的高度为$\frac{10}{3}$.

答案： 10. $\frac{10}{3}$ 由已知可得圆柱的底面半径为 2，往容器内注水后水面高度为 3，此时放入一个半径为 1 的实心铁球，铁球的直径为 2，所以铁球完全没入水中.设此时水面的高度为$h$，则$ \pi × 2^2 × 3+ \frac{4}{3} \pi × 1^3= \pi × 2^2 × h$，解得$h= \frac{10}{3}＜4$，水不会溢出，符合题意.

11. 某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩,如图所示,该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台.经测量,灯罩的上底面直径为18 cm,下底面直径为34 cm,灯罩的侧面展开图是一个圆心角为$\frac {2π}{3}$的扇环,则新灯罩所需环保材料的面积为705$\pi$$cm^{2}$(结果保留π).

答案：
11. 705$\pi$ 圆台的轴截面如图 1，圆台的侧面展开图如图 2.由题意知圆台上底面半径为$r_1=9cm$，下底面半径为$r_2=17cm$，则$l_1= \frac{2 \pi r_1}{2 \pi}=3r_1$，$l_2= \frac{2 \pi r_2}{2 \pi}=3r_2$，故扇环面积为$ \pi r_1l_2- \pi r_1l_1= \pi (r_2 · 3r_2-r_1 · 3r_1)=3 \pi (r_2^2-r_1^2)=3 \pi (17^2-9^2)= 624 \pi (cm^2)$，则新灯罩所需环保材料的面积为$624 \pi+ \pi r_1^2= 624 \pi+81 \pi=705 \pi (cm^2)$.

高中数学小题狂做·必修第二册·RA

12. 如图,水平放置的$\triangle ABC$的斜二测画法的直观图是$\triangle A'B'C'$.已知$A'C'=2,B'C'=1,$现将原$\triangle ABC$绕AB所在直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的体积为$\frac{4 \sqrt{2}}{3} \pi$.

答案：
12. $\frac{4 \sqrt{2}}{3} \pi$ 由题意，还原可得$\triangle ABC$如图所示，$\triangle ABC$为直角三角形，其中$AC=A'C'=2$，$BC=2B'C'=2$，则$BA= \sqrt{CB^2+AC^2}=2 \sqrt{2}$.取$AB$的中点$T$，连接$OT$，将$\triangle ABC$绕$AB$所在直线旋转一周后形成的几何体可看作由两个以底面半径为$OT= \sqrt{2}$，高分别为$TA$，$TB$的圆锥组合而成，易知$TA=TB= \sqrt{2}$，故该几何体的体积为$2 × \frac{1}{3} × \pi × ( \sqrt{2})^2 × \sqrt{2}= \frac{4 \sqrt{2}}{3} \pi$.

13. 如图,圆锥PO的底面半径和高均为6 cm,过PO上一点$O_{1}$作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱$OO_{1}$.设圆柱的底面半径为R,母线长为l.
(1)求R与l的关系式;
(2)求圆柱$OO_{1}$的侧面积的最大值;
(3)记圆柱$OO_{1}$的侧面积为$S_{1}$,圆锥$PO_{1}$的侧面积为$S_{2}$.若$S_{1}=2\sqrt {2}S_{2}$,求圆柱$OO_{1}$的体积.

答案：
13. 解：
(1)作出圆锥的轴截面，如图：

因为$PO_1=OA=6$，所以$ \angle A=45°$，所以$AB=l$，又$OB=R$，所以$R+l=6$.
(2)圆柱$OO_1$的侧面积为$S=2 \pi Rl \leq 2 \pi (\frac{R+l}{2})^2=18 \pi$，当且仅当$R=l=3$时，等号成立，即圆柱$OO_1$的侧面积的最大值为$18 \pi$.
(3)由题意，圆柱$OO_1$的侧面积为$S=2 \pi Rl$，圆锥$PO_1$的底面半径为$R$，母线长为$\sqrt{2}R$，侧面积为$S_{圆锥侧}= \pi R( \sqrt{2}R)= \sqrt{2} \pi R^2$，因为$S_1=2 \sqrt{2}S_2$，所以$2 \pi Rl=2 \sqrt{2} × \sqrt{2} \pi R^2$，解得$l=2R$.因为$R+l=6$，所以$R=2$，$l=4$.圆柱$OO_1$的体积为$V= \pi R^2l=16 \pi$.