《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 已知 $ m,n $ 为两条不同的直线,$ \alpha,\beta $ 为两个不重合的平面,则下列结论正确的是 (C)

A.若 $ m // \alpha,m // n $,则 $ n // \alpha $
B.若 $ m // \alpha,n // \alpha $,则 $ m // n $
C.若 $ m // \alpha,m \subset \beta,\alpha \cap \beta =n $,则 $ m // n $
D.若 $ m // \alpha,n \subset \alpha $,则 $ m // n $

答案： 1.C A中，n还有可能在平面$\alpha$内，A错误；B中，$m$，$n$可能相交、平行或异面，B错误；C中，由线面平行的性质定理可得C正确；D中，$m$，$n$可能异面，D错误。
方法总结：证明线线平行的又一方法：线面平行的性质定理。

2. 如图所示,在四棱锥 $ P - ABCD $ 中,$ G,E,F,H $ 分别是棱 $ PB,AB,CD,PC $ 上共面的四点,若 $ BC // $ 平面 $ GEFH $,则 $ GH $ 与 $ EF $ 的位置关系为 (B)

A.相交
B.平行
C.垂直
D.异面

答案： 2.B　因为$BC//$平面$GEFH$，$BC\subset$平面$PBC$，且平面$PBC\cap$平面$GEFH=GH$，所以$GH// BC$。同理可得$EF// BC$，因此$GH// EF$。

3. 如图,在三棱台 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中,从 $ A,B,C,A_1,B_1,C_1 $ 中取 3 个点确定平面 $ \alpha $,若平面 $ \alpha \cap $ 平面 $ A_1B_1C_1 = m $,且 $ m // AB $,则所取的这 3 个点可以是 (C)

A.$ A,B,C $
B.$ A_1,B,C_1 $
C.$ A,B,C_1 $
D.$ A,B_1,C_1 $

答案： 3.C 由于几何体$A_{1}B_{1}C_{1}-ABC$是三棱台，则$AB// A_{1}B_{1}$，又$AB⊄$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$，$A_{1}B_{1}\subset$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$，所以$AB//$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$，当$ABC\subset$平面$\alpha$，平面$\alpha\cap$平面$A_{1}B_{1}C_{1}=m$时，由直线与平面平行的性质定理可知$m// AB$，选项C符合要求。

4. 如图,已知四棱锥 $ P - ABCD $ 的底面是平行四边形,$ AC $ 交 $ BD $ 于点 $ O $,$ E $ 为 $ AD $ 的中点,$ F $ 在 $ PA $ 上,$ AP = \lambda AF $,$ PC // $ 平面 $ BEF $,则 $ \lambda $ 的值为 (D)

A.1
B.$ \frac{3}{2} $
C.2
D.3

答案：
4.D 如图，设$AO$交$BE$于点$G$，连接$FG$。因为$O$，$E$分别是$BD$，$AD$的中点，所以$\frac{AG}{AO}=\frac{2}{3}$，则$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{3}$。因为$PC//$平面$BEF$，平面$BEF\cap$平面$PAC=GF$，所以$GF// PC$，所以$\frac{AF}{AP}=\frac{AG}{AC}=\frac{1}{3}$，即$\lambda=3$。

方法总结：解这类题的关键是过直线作一平面与已知平面相交，在交线与直线平行的结论下，应用平行线分线段成比例定理求解。

5. 在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,若平面 $ A_1BC_1 $ 与平面 $ ABCD $ 的交线为 $ l $,则 (D)

A.$ l // CD $
B.$ l // A_1C $
C.$ l // $ 平面 $ A_1B_1CD $
D.$ l // $ 平面 $ ACD_1 $

答案：
5.D 如图，因为点$B\in$平面$A_{1}BC_{1}$且$B\in$平面$ABCD$，所以$B\in l$。又易得直线$A_{1}C_{1}//$平面$ABCD$，$A_{1}C_{1}\subset$平面$A_{1}BC_{1}$，故$A_{1}C_{1}// l$，所以$l$是过点$B$且平行于$A_{1}C_{1}$的直线。对于A，因为$A_{1}C_{1}// l$，$A_{1}C_{1}// AC$，所以$l// AC$，$AC$与$CD$相交，故$l// CD$不成立，即A错误；对于B，因为$l// AC$，而$AC\cap A_{1}C=C$，故$l// AC$不成立，即B错误；对于C，因为$l// AC$，而$AC\cap$平面$A_{1}B_{1}CD=C$，故$l//$平面$A_{1}B_{1}CD$不成立，即C错误；对于D，由上分析知$l// AC$，又$AC\subset$平面$ACD_{1}$，$l⊄$平面$ACD_{1}$，所以$l//$平面$ACD_{1}$，即D正确。

6. 已知正三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 的所有棱长都为 4,$ E $ 为 $ AB $ 的中点,用过点 $ E $ 及直线 $ A_1C_1 $ 的平面截这个正三棱柱,则该截面的面积是 (D)

A.$ 2\sqrt{5} $
B.$ 3\sqrt{5} $
C.$ 2\sqrt{19} $
D.$ 3\sqrt{19} $

答案：
6.D 如图，设过点$E$及直线$A_{1}C_{1}$的平面交$BC$于点$F$。由正三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$可得$A_{1}C_{1}// AC$；而$A_{1}C_{1}⊄$平面$ABC$，$AC\subset$平面$ABC$，故$A_{1}C_{1}//$平面$ABC$。又平面$ABC\cap$平面$A_{1}CE=EF$，$A_{1}C_{1}\subset$平面$A_{1}CE$，所以$A_{1}C_{1}// EF$；而$E$为$AB$的中点，故$F$为$BC$的中点，故$A_{1}E = C_{1}F=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$。又$EF=\frac{1}{2}AC = 2$，故等腰梯形$A_{1}C_{1}FE$的高为$\sqrt{20 - (\frac{4 - 2}{2})^{2}}=\sqrt{19}$，所以截面的面积为$\frac{2 + 4}{2}×\sqrt{19}=3\sqrt{19}$。

7. 在空间四边形 $ ABCD $ 中,$ E,F,G,H $ 分别是 $ AB,BC,CD,DA $ 上的点,当 $ BD // $ 平面 $ EFGH $ 时,下列结论正确的是 (CD)

A.$ E,F,G,H $ 一定是各边的中点
B.$ G,H $ 一定是 $ CD,DA $ 的中点
C.$ AE:EB = AH:HD $
D.当 $ AH:AD = CG:CD $ 时,四边形 $ EFGH $ 是平行四边形

答案：
7.CD 如图所示，因为$BD//$平面$EFGH$，平面$ABD\cap$平面$EFGH=EH$，所以$BD// EH$，所以$AE:EB = AH:HD$，同理$BD// GF$，$CG:GD = CF:FB$，由此$E$，$F$，$G$，$H$不一定是各边的中点，排除A，B。由$BD// EH$得$HE:BD = AH:AD$，同理$GF:BD = CG:CD$，当$AH:AD = CG:CD$时，$HE = GF$且$HE// GF$，所以四边形$EFGH$是平行四边形。