《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

14. 如图,为了测量两山顶 $M,N$ 之间的距离,飞机沿水平方向在 $A,B$ 两点进行测量,$A,B,M,N$ 在同一铅垂平面内.飞机从点 $A$ 到点 $B$ 的路程为 $a$,途中在点 $A$ 观测到 $M,N$ 处的俯角分别为 $\alpha,\beta$,在点 $B$ 观测到 $M,N$ 处的俯角分别为 $\gamma,\delta$.
(1)求 $A,N$ 之间的距离(用字母表示);
(2)若 $a = 10\sqrt{3},\alpha = 75^{\circ},\beta = 30^{\circ},\gamma = 45^{\circ},\delta = 60^{\circ}$,求 $M,N$ 之间的距离.

答案： 14. 解：
(1)在$\triangle ABN$中，由正弦定理得$\frac{AB}{\sin\angle ANB}=\frac{AN}{\sin\angle ABN}$，即$\frac{a}{\sin(\delta-\beta)}=\frac{AN}{\sin(\pi-\delta)}$，所以$AN=\frac{a\sin\delta}{\sin(\delta-\beta)}$.
(2)在$\triangle ABM$中，由正弦定理得$\frac{AB}{\sin\angle AMB}=\frac{AM}{\sin\angle ABM}$，即$\frac{a}{\sin(\pi-\alpha-\gamma)}=\frac{AM}{\sin\gamma}$，因此$AM=\frac{a\sin\gamma}{\sin(\pi-\alpha-\gamma)}$.又$a = 10\sqrt{3}$，$\alpha = 75^{\circ}$，$\beta = 30^{\circ}$，$\gamma = 45^{\circ}$，$\delta = 60^{\circ}$，则$AM=\frac{10\sqrt{3}\sin45^{\circ}}{\sin120^{\circ}}=10\sqrt{2}$，由
(1)得$AN=\frac{10\sqrt{3}\sin60^{\circ}}{\sin(60^{\circ}-30^{\circ})}=30$.在$\triangle AMN$中，$\angle MAN = 45^{\circ}$，由余弦定理得$MN=\sqrt{AM^{2}+AN^{2}-2AM· AN·\cos\angle MAN}=10\sqrt{5}$，即$M$，$N$之间的距离为$10\sqrt{5}$.
核心笔记
1. 不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为可解的三角形，且必须清楚题目中的方位角和俯角、仰角等概念.(练习运用:第2题、第3题、第5题、第9题)
2. 解决度量问题时，要根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型，通过正弦定理和余弦定理列方程解决.(练习运用:第6题、第11题、第12题、第13题)