《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

10. 写出一个同时满足下列条件的复数 $ z =$$-\sqrt{3}+i$(答案不唯一)$$ _ .
① $ |z| = 2 $;②复数 $ z $ 在复平面内对应的点在第二象限.

答案： 10.$-\sqrt{3}+i$(答案不唯一) 设$z = x + yi(x,y\in\mathbf{R})$，由$\vert z\vert = 2$得$x^{2}+y^{2}=4$，且$x\lt0,y\gt0$，故可取$x=-\sqrt{3},y = 1$，即$z=-\sqrt{3}+i$(答案不唯一).

11. 已知复数 $ z_{1} = 2 + i,z_{2} = -1 + 2i $ (i 为虚数单位)在复平面上对应的点分别为 $ Z_{1},Z_{2} $,则 $ \triangle OZ_{1}Z_{2} $ 的面积为$\frac{5}{2}$_ .

答案： 11.$\frac{5}{2}$ 因为$z_1=2+i,z_2=-1 + 2i$，所以$\overrightarrow{OZ_1}=(2,1),\overrightarrow{OZ_2}=(-1,2)$，$\vert\overrightarrow{OZ_1}\vert =\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$\vert\overrightarrow{OZ_2}\vert =\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{OZ_1}·\overrightarrow{OZ_2}=-1×2 + 1×2 = 0$，所以$\overrightarrow{OZ_1}\perp\overrightarrow{OZ_2}$，则$S_{\triangle OZ_1Z_2}=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{OZ_1}\vert·\vert\overrightarrow{OZ_2}\vert=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}$.

12. 已知复数 $ z $ 满足 $ |z - 1| = 1 $,则 $ |z - i| $ 的最小值为$\sqrt{2}-1$_ .

答案： 12.$\sqrt{2}-1$ 设$z = x + yi(x,y\in\mathbf{R})$，由$\vert z - 1\vert = 1$得$\vert x - 1+yi\vert = 1$，所以$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$，即$(x,y)$是圆心为$(1,0)$，半径为$1$的圆上的动点，$\vert z - i\vert =\sqrt{x^{2}+(y - 1)^{2}}$表示的是点$(x,y)$与点$(0,1)$之间的距离，所以其最小值为点$(0,1)$到圆心$(1,0)$的距离减去半径，即$\vert z - i\vert$的最小值为$\sqrt{2}-1$.

13. 已知在复平面内与复数 $ z = (m^{2} - m - 2) + (m^{2} + 3m - 4)i $ 对应的点为 Z.
(1)若点 Z 在函数 $ y = -2x - 6 $ 的图象上,求实数 $ m $ 的值;
(2)若 O 为坐标原点,点 A 在 x 轴的正半轴上,且向量 $ \overrightarrow{OZ} $ 与 $ \overrightarrow{OA} $ 的夹角为钝角,求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 13.解：
(1)由题可知，复数$z$在复平面内对应的点的坐标为$(m^{2}-m - 2,m^{2}+3m - 4)$，所以$m^{2}+3m - 4=-2(m^{2}-m - 2)-6$，即$3m^{2}+m - 2 = 0$，解得$m=-1$或$m=\frac{2}{3}$.
(2)由题可知，点$Z$在第二象限或第三象限，所以$m^{2}-m - 2\lt0$且$m^{2}+3m - 4\neq0$，解得$-1\lt m\lt2$且$m\neq - 4$且$m\neq1$，所以实数$m$的取值范围为$(-1,1)\cup(1,2)$.

14. 瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式: $ e^{ix} = \cos x + i\sin x $,其中 e 是自然对数的底数,i 是虚数单位. 根据欧拉公式,下列选项正确的是 (D)

A.$ e^{\pi i} = 1 $
B.$ e^{\frac{\pi}{3}i} $ 的虚部为 $ \frac{\sqrt{3}}{2}i $
C.复数 $ e^{\frac{\pi}{3}i} $ 在复平面内对应的点位于第二象限
D.$ |e^{\frac{\pi}{3}i} - e^{\theta i}|(\theta \in \mathbf{R}) $ 的最大值为 2

答案： 14.D 对于A，$e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$，A错误；对于B，$e^{\frac{\pi}{3}i}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，其虚部为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B错误；对于C，$e^{\frac{\pi}{4}i}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$，则复数$e^{\frac{\pi}{4}i}$在复平面内对应的点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$位于第一象限，C错误；对于D，$\verte^{\frac{\pi}{2}i}-e^{i\theta}\vert=\vert\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}-\cos\theta-i\sin\theta\vert=\vert1-\cos\theta-i\sin\theta\vert=\sqrt{\cos^{2}\theta+(1 - \sin\theta)^{2}}=\sqrt{2 - 2\sin\theta}\leq2$，当$\theta=-\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时取等号，D正确.