《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 如图，在四面体 $A - BCD$ 中，$M$，$N$，$P$，$Q$，$E$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$AD$，$AC$ 的中点，则下列说法中正确的是(ABC)


A.$M$，$N$，$P$，$Q$ 四点共面
B.$\angle QME = \angle CBD$
C.$\triangle BCD \sim \triangle MEQ$
D.四边形 $MNPQ$ 为梯形

答案：
8. ABC 如图，由中位线定理，易知 MQ // BD，ME // BC，QE // CD，NP // BD。对于 A，MQ // NP，所以 M，N，P，Q 四点共面，故 A 正确；对于 B，根据等角定理，得∠QME = ∠CBD，故 B 正确；对于 C，由等角定理，知∠QME = ∠CBD，∠MEQ = ∠BCD，所以△BCD ∼ △MEQ，故 C 正确；由三角形的中位线定理，知 MQ // BD，MQ = $\frac{1}{2}$BD，NP // BD，NP = $\frac{1}{2}$BD，所以 MQ // NP 且 MQ = NP，所以四边形 MNPQ 为平行四边形，故 D 不正确。
　　　　　　　

9. 下列命题属于假命题的是(BCD)

A.直线 $a$，$b$，$c$ 两两平行，但不共面，经过其中 2 条直线的平面共有 3 个
B.若两个三角形不在同一平面内，但它们的边两两对应平行，则这两个三角形不一定相似
C.若直线 $a // b$，直线 $c$，$d$ 不重合，且 $a // c$，$b // d$，则 $c$ 与 $d$ 的位置是平行或异面直线
D.已知三条不同的直线 $l$，$m$，$n$，且 $l // m$，则“$m // n$”是“$l // n$”的必要不充分条件

答案： 9. BCD 对于 A，直线 a，b 确定一个平面，直线 b，c 确定一个平面，直线 a，c 确定一个平面，例如三棱柱的三条侧棱组成的三个侧面，所以共 3 个平面，故 A 为真命题；对于 B，依题意，由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形一定相似，故 B 为假命题；对于 C，因为 a // b 且 a // c，根据平行线的传递性，知 b，c 平行或重合，又因为 b // d，同理知 c，d 平行或重合，因为直线 c，d 不重合，所以 c // d，C 为假命题；对于 D，若 m // n，又 l // m，则 l // n，故充分性成立，反之，若 l // n，又 l // m，则 m // n，故必要性成立，故“m // n”是“l // n”的充要条件，D 为假命题。
方法总结：基本事实 4 和等角定理是判断这类题的重要依据。

10. 已知 $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面外一点，$D$，$E$ 分别是 $\triangle PAB$，$\triangle PBC$ 的重心，$AC = a$，则 $DE$ 的长为$\frac{1}{3}a$。

答案：
10. $\frac{1}{3}a$ 如图，因为 D，E 分别是△PAB，△PBC 的重心，连接 PD，PE，并延长分别交 AB，BC 于点 M，N，所以 M，N 分别为 AB，BC 的中点，所以 DE // MN 且 DE = $\frac{2}{3}$MN，MN // AC 且 MN = $\frac{1}{2}$AC，则 DE // AC 且 DE = $\frac{1}{3}$AC，所以 DE = $\frac{1}{3}a$。
　　　　　　　

11. 如图，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$，$M$，$N$ 分别是棱 $AB$，$BC$，$A_{1}B_{1}$，$BB_{1}$，$C_{1}D_{1}$，$CC_{1}$ 的中点，则下列结论正确的有①③⑤(填序号)。

① $GH$ 和 $MN$ 平行；
② $GH$ 和 $MN$ 相交；
③ $GH$ 和 $EF$ 异面；
④ $GH$ 和 $EF$ 相交；
⑤ $MN$ 和 $EF$ 相交；
⑥ $MN$ 和 $EF$ 异面。

答案：
11. ①③⑤ 由 G，H，M，N 分别是棱 A₁B₁，BB₁，C₁D₁，CC₁的中点，可知 GH // A₁B₁，MN // D₁C₁，又 A₁B₁ // D₁C₁，故 GH // MN，即①正确。因为 EF ∩ 平面 ABB₁A₁ = E，GH ⊂ 平面 ABB₁A₁，E ∉ GH，所以 GH 和 EF 异面，即③正确。延长 MN 交直线 DC 于点 P，故 CP = D₁M，CP // D₁M，则 EB = CP，EB // CP，则△EFB ≌ △PFC，故点 P 在 EF 的延长线上，即 EF 与 MN 相交，即⑤正确。
　　　　　

12. 如图所示，$\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 的对应顶点的连线 $AA'$，$BB'$，$CC'$ 交于同一点 $O$，且 $\frac{AO}{A'O} = \frac{BO}{B'O} = \frac{CO}{C'O} = \frac{2}{3}$，则 $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} =$$\frac{4}{9}$。

答案： 12. $\frac{4}{9}$ 因为 AA′与 BB′相交于点 O，所以 AA′与 BB′共面，在△ABO 和△A′B′O 中，可得∠AOB = ∠A′OB′，又因为 $\frac{AO}{OA'} = \frac{BO}{OB'}$，所以△ABO ∼ △A′B′O，所以 $\frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{3}$，∠BAO = ∠B′A′O，所以 AB // A′B′，同理 AC // A′C′，BC // B′C′。又 AB 和 A′B′，AC 和 A′C′的方向相反，所以∠BAC = ∠B′A′C′，同理∠ABC = ∠A′B′C′，因此△ABC ∼ △A′B′C′，所以 $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$。

13. 如图，四边形 $ABCD$ 和四边形 $ABEF$ 都是梯形，且 $BC // AD$，$BE // FA$，$BC = \frac{1}{2}AD$，$BE = \frac{1}{2}FA$，$G$，$H$ 分别为 $FA$，$FD$ 的中点。
(1) 求证：四边形 $BCHG$ 是平行四边形。
(2) $C$，$D$，$F$，$E$ 四点是否共面？为什么？

答案： 13.
(1) 证明：因为 G，H 分别为 FA，FD 的中点，所以 GH // AD，GH = $\frac{1}{2}$AD，又 BC // AD，BC = $\frac{1}{2}$AD，所以 GH // BC，GH = BC，即四边形 BCHG 是平行四边形。
(2) 解：共面，理由如下：因为 BE // FA，BE = $\frac{1}{2}$FA，G 为 FA 中点，所以 BE // FG，BE = FG，即四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF // BG，EF = BG；由
(1) 知 CH // BG，CH = BG，所以 CH // EF，CH = EF，即四边形 CEFH 为平行四边形，所以 CE // FH，即 CE // FD，所以 C，D，E，F 四点共面。