《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 如图，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，直线 $BD$ 与 $A_{1}C_{1}$ 的位置关系是(D)


A.平行
B.相交
C.异面但不垂直
D.异面且垂直

答案： 1. D 因为正方体的对面平行，所以直线BD与A₁C₁异面.连接AC，则AC//A₁C₁，AC⊥BD，所以直线BD与A₁C₁垂直，所以直线BD与A₁C₁异面且垂直.

2. 空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(B)

A.空间四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案：
2. B 如图，在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC，CD,DA的中点，则有EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC.同理，HG//AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，所以EF//GH，且EF=GH，所以四边形EFGH为平行四边形，又AC⊥BD，所以EF⊥EH.所以四边形EFGH为矩形.
　　　　　　　

3. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则(C)


A.$AF\perp CH$
B.$CH// BD$
C.$BC$ 与 $AF$ 的夹角为 $45^{\circ}$
D.$AF$ 与 $BG$ 异面

答案：
3. C 根据题意，画出该正方体的直观图，如图所示.
　　　　　　　
A选项，AC=AH=CH，△ACH为等边三角形，AF与CH所成的角为$\frac{\pi}{3}$，A错误；B选项，CH与BD异面，B错误；C选项，在正方体中，BC//EH，EH与AF的夹角为45°，则BC与AF的夹角为45°，C正确；D选项，易知AF//BG，则AF与BG共面，D错误.

4. 在四面体 $ABCD$ 中，已知 $E$，$F$ 分别是 $AC$，$BD$ 的中点，若 $AB = 2$，$CD = 4$，$EF\perp AB$，则 $EF$ 与 $CD$ 所成角的大小为(D)

A.$90^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案：
4. D 取AD的中点G，连接EG,FG.因为E,F分别为AC，BD的中点，所以FG//AB，EG//CD，所以∠FEG为EF与CD所成的角或其补角.因为EF⊥AB，所以在△EFG中，EF⊥FG，FG=$\frac{1}{2}$AB=1，EG=$\frac{1}{2}$CD=2，则$\sin\angle FEG=\frac{FG}{EG}=\frac{1}{2}$，得∠FEG=30°.
　　　　　　　
方法总结 平移法求异面直线所成的角的三个步骤：一作，根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证，证明作出的角是异面直线所成的角；三求，解三角形，求出所作的角.

5. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”(chú méng)是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体. 如图，五面体 $ABCDEF$ 是一个刍薨，其中 $\triangle BCF$ 是正三角形，$AB = 2BC = 2EF$，有以下两个结论：①$AB// EF$；②$BF\perp ED$，则(B)

A.①和②都不成立
B.①成立，但②不成立
C.①不成立，但②成立
D.①和②都成立

答案：
5. B 因为AB//CD，CD⊂平面CDEF，AB⊄平面CDEF，所以AB//平面CDEF，又EF⊂平面CDEF，由AB⊂平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB//EF，故①成立.如图，取CD中点G，连接BG,FG，由AB=CD=2EF，易知DE//GF，且DE=GF，不妨设EF=1，则BG=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$.假设BF⊥ED，则BF²+FG²=BG²，即1+FG²=2，即FG=1，但FG的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立.
　　　　　　

6. 如图，在斜三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AA_{1} = AC = AB = A_{1}C = 2$，$D$，$E$，$F$ 分别为 $A_{1}C_{1}$，$A_{1}B_{1}$，$BC$ 的中点，则异面直线 $AD$ 和 $EF$ 所成角的余弦值为(B)


A.$\frac{\sqrt{7}}{7}$
B.$\frac{\sqrt{21}}{7}$
C.$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
6. B 如图，连接DE,DC.
　　　　　　　
根据三棱柱性质可得BC//B₁C₁.又因为D,E,F分别为A₁C₁，A₁B₁,BC的中点，所以DE//B₁C₁，DE=$\frac{1}{2}$B₁C₁.又FC//B₁C₁且FC=$\frac{1}{2}$B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，所以可得FC//DE且FC=DE，即可得四边形DEFC为平行四边形，因此EF//DC.所以异面直线AD和EF所成的角即为AD和DC所成的角，即∠ADC或其补角.因为AA₁=AC=AB=A₁C=2，所以∠A₁AC=60°，∠AA₁D=120°.在△AA₁D中，由余弦定理可得AD²=AA₁²+A₁D² - 2AA₁·A₁Dcos120°=4 + 1 + 2 = 7，则AD=$\sqrt{7}$.在△CC₁D中，由余弦定理可得CD²=CC₁²+C₁D² - 2CC₁·C₁Dcos60°=4 + 1 - 2 = 3，则CD=$\sqrt{3}$，因此在△ACD中，由余弦定理可得$\cos\angle ADC=\frac{AD^{2}+CD^{2}-AC^{2}}{2AD· CD}=\frac{7 + 3 - 4}{2\sqrt{7}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.
故异面直线AD和EF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$.