《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. (易错易混)已知点$ A(-2,1) $，$ B(1,4) $，$ C(0,-3) $，则$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}= $(A)

A.$ (5,-1) $
B.$ (-3,3) $
C.$ (1,7) $
D.$ (-1,7) $

答案： 1.A 因为$\overrightarrow{AB}=(3,3)$，$\overrightarrow{AC}=(2,-4)$，所以$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(5,-1)$。
易错警示：向量的坐标是终点坐标减去起点坐标。

2. 如图，分别取与$ x $轴、$ y $轴正方向相同的两个单位向量$ \{i,j\} $作为基底，若$ |a|=\sqrt{2} $，$ \theta =45^{\circ} $，则向量$ a $的坐标为(A)


A.$ (1,1) $
B.$ (-1,-1) $
C.$ (\sqrt{2},2) $
D.$ (-\sqrt{2},-\sqrt{2}) $

答案： 2.A 由题意得，$\boldsymbol{a}=\sqrt{2}\cos 45^{\circ}\boldsymbol{i}+\sqrt{2}\sin 45^{\circ}\boldsymbol{j}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}=(1,1)$。

3. 已知向量$ e_{1}=(1,1) $，$ e_{2}=(-2,2) $。若向量$ a=xe_{1}+ye_{2} $，则使$ xy＞0 $成立的$ a $可能是(D)

A.$ (1,0) $
B.$ (3,2) $
C.$ (-1,0) $
D.$ (1,\sin \theta -3) $

答案： 3.D 对于A，$(1,0)=x(1,1)+y(-2,2)=(x - 2y,x + 2y)$，则$x - 2y = 1$，$x + 2y = 0$，解得$x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{4}$，$xy\lt0$，A错误；对于B，$(3,2)=(x - 2y,x + 2y)$，可得$x=\frac{5}{2}$，$y=-\frac{1}{4}$，$xy\lt0$，B错误；对于C，$(-1,0)=(x - 2y,x + 2y)$，可得$x=-\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{4}$，$xy\lt0$，C错误；对于D，$(1,\sin\theta - 3)=(x - 2y,x + 2y)$，可得$x=\frac{\sin\theta}{2}-1\lt0$，$y=\frac{\sin\theta}{4}-1\lt0$，$xy\gt0$，D正确。

4. (教材变式)已知向量$ \overrightarrow{AB} $与$ a=(6,-8) $的夹角为$ \pi $，且$ |\overrightarrow{AB}|=|a| $。若点$ A $的坐标为$ (-1,2) $，则点$ B $的坐标为(A)

A.$ (-7,10) $
B.$ (7,10) $
C.$ (5,-6) $
D.$ (-5,6) $

答案： 4.A 由题意知$\overrightarrow{AB}$与$\boldsymbol{a}$的模长相等，方向相反，所以$\overrightarrow{AB}=-\boldsymbol{a}=(-6,8)$。又因为$A(-1,2)$，设$B(x,y)$，则$\overrightarrow{AB}=(x + 1,y - 2)=(-6,8)$，所以$\begin{cases}x + 1 = -6\\y - 2 = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -7\\y = 10\end{cases}$，即$B(-7,10)$。
教材链接：人教A版必修二习题6.3第13题改编

5. 如图，分别用基底$ \{i,j\} $表示向量$ a,b,c $，则$ a+b-c $的坐标为(B)


A.$ (-4,6) $
B.$ (-6,0) $
C.$ (-2,-4) $
D.$ (0,2) $

答案： 5.B 因为$\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}=(-1,-3)$，$\boldsymbol{b}=-3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}=(-3,1)$，$\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}=(2,-2)$，所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=(-6,0)$。

6. 已知$ |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1 $，$ \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB}=0 $，点$ C $满足$ \overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}(\lambda＞0,\mu＞0) $且$ \angle AOC=30^{\circ} $，则$ \frac{\lambda}{\mu}= $(D)

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ 1 $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \sqrt{3} $

答案：
6.D 由于$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}| = 1$，$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=0$，以$O$为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以$C(\lambda,\mu)$，则$\tan 30^{\circ}=\frac{\mu}{\lambda}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{\lambda}{\mu}=\sqrt{3}$。

7. 下面说法正确的是(ABD)

A.相等向量的坐标相同
B.平面内一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面内一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应

答案： 7.ABD 向量平移坐标不变，故C错误，易知A、B、D均正确。