《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. [2025山东东营期末]已知复数$z=\frac{2 - i}{1 - 3i}$(其中$i$为虚数单位)，则$z$的虚部为(D)

A.$-\frac{1}{2}i$
B.$\frac{1}{2}i$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 1. D 由题意可得$z=\frac{2 - i}{1 - 3i}=\frac{(2 - i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)}=\frac{5 + 5i}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，所以$z$的虚部为$\frac{1}{2}$.

2. [2025安徽蚌埠期末]若复数$z$满足$z· i = 2 - i$($i$为虚数单位)，则复数$z$在复平面内对应的点位于(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2. C 由$z· i = 2 - i$，得$z=\frac{2 - i}{i}=\frac{(2 - i)(-i)}{i(-i)}=\frac{i^{2}-2i}{1}=-1 - 2i$，所以复数$z = -1 - 2i$在复平面内对应的点为$(-1,-2)$，该点位于第三象限.

3. [2025浙江嘉兴期末]已知复数$z$满足$z·(1 + \sqrt{3}i) = 2$，则(A)

A.$|z| = 1$
B.$z = 1 - \sqrt{3}i$
C.$z$的虚部为$-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
D.$z + \overline{z} = \sqrt{3}$

答案： 3. A 由题得$z=\frac{2}{1+\sqrt{3}i}=\frac{2(1 - \sqrt{3}i)}{(1+\sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，B错误；$|z| = 1$，A正确；$z$的虚部为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，C错误；又$\overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，则$z + \overline{z}=1$，D错误.

4. [2025浙江台州期末]已知虚数$z_1,z_2$是方程$x^3 + x - 2 = 0$的两个不同的根，则下列结论正确的是(B)

A.$z_1 = 1$
B.$|z_1| = \sqrt{2}$
C.$z_1^2 + z_2 = 0$
D.$z_1 + z_2 = 1$

答案： 4. B 根据题意，得$x^{3}+x - 2=(x - 1)(x^{2}+x + 2)=0$，令$x^{2}+x + 2 = 0$，其中$\Delta = 1 - 8 = -7 ＜ 0$.由于$z_1,z_2$为虚数，故$z_1$，$z_2$为$x^{2}+x + 2 = 0$的两个根，且两根为$\frac{-1\pm\sqrt{7}i}{2}$，不妨设$z_1=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$，$z_2=\frac{-1-\sqrt{7}i}{2}$，则$|z_1|=\sqrt{\frac{1 + 7}{4}}=\sqrt{2}$，$z_1 + z_2=-1$，则$z_1^{2}+z_2=(\frac{-1+\sqrt{7}i}{2})^{2}+\frac{-1-\sqrt{7}i}{2}=\frac{-3-\sqrt{7}i}{2}+\frac{-1-\sqrt{7}i}{2}=-2-\sqrt{7}i$，故只有B正确.

5. [2025广东五校联考期中]定义复数运算：$z_1\odot z_2=\overline{z_1}z_2 + z_1z_2$。已知复数$z = 1 + 2i$，$\omega$满足$z\odot\omega = 10$，则下列结论错误的是(A)

A.$\omega$可以是$3 + i$
B.$|\omega|$的最小值为$\sqrt{5}$
C.$\omega$在复平面内对应的点不可能位于第二象限
D.$z\omega$的实部是5

答案： 5. A 设$\omega = a + bi$，$a,b\in\mathbf{R}$，则$z\omega=(1 - 2i)(a - bi)+(1 + 2i)(a + bi)=2a - 4b = 10$，即$a - 2b = 5$.对于A，若$\omega = 3 + i$，则$a - 2b = 3 - 2 = 1\neq5$，故A错误；对于B，$|\omega|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(5 + 2b)^{2}+b^{2}}=\sqrt{5b^{2}+20b + 25}=\sqrt{5(b + 2)^{2}+5}\geqslant\sqrt{5}$，当且仅当$b = -2$时，等号成立，故$|\omega|$的最小值为$\sqrt{5}$，故B正确；对于C，若$\omega$在复平面内对应的点位于第二象限，则$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，此时$a - 2b = 5$不成立，则$\omega$在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故C正确；对于D，$z\omega=a - 2b+(2a + b)i = 5+(2a + b)i$，故$z\omega$的实部是$5$，故D正确.

6. [2025江苏四市十一校联考]已知复数$z = \cos\theta + i\sin\theta(\theta\in(-\frac{\pi}{2},0)$，$i$为虚数单位)，$z^2 + z$在复平面内对应的点在虚轴上。在$\triangle ABC$中，复数$\overline{z} = \cos B + i\sin B$，且$2z,z^2 - z + 1$在复平面内对应的点分别为$A,C$，则$\triangle ABC$面积的最大值为(D)

A.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 6. D 由题得$z^{2}+z=(\cos2\theta+\cos\theta)+i(\sin2\theta+\sin\theta)$，所以$\cos2\theta+\cos\theta=2\cos^{2}\theta+\cos\theta - 1 = 0,\theta\in(-\frac{\pi}{2},0)$，则$\cos\theta=\frac{1}{2}$或$\cos\theta=-1$（不符合题意，舍去），所以$\theta=-\frac{\pi}{3}$.所以$\sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$2z=1-\sqrt{3}i$，则$z^{2}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos B+i\sin B$，因此$B=\frac{\pi}{3}$，$z^{2}-z + 1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i+1=0$，$2z$，$z^{2}-z + 1$在复平面内对应的点分别为$A(1,-\sqrt{3})$，$C(0,0)$，则$CA = 2$.由余弦定理可得$\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB· BC}=\frac{AB^{2}+BC^{2}-4}{2AB· BC}=\frac{1}{2}$，得$AB^{2}+BC^{2}=4 + AB· BC$.因为$AB^{2}+BC^{2}\geqslant2AB· BC$，即$4\geqslant AB· BC$，当且仅当$AB = BC$时，等号成立，此时$\triangle ABC$为等边三角形，所以三角形面积最大值为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· BC·\sin B=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

7. [2025江西九江期末]已知复数$z = i + 2i^2 + 3i^3$，则下列说法正确的有(BC)

A.$z$的虚部为2
B.$|z| = 2\sqrt{2}$
C.$z - \overline{z}$为纯虚数
D.$z^2 = - 8i$

答案： 7. BC $z = i + 2i^{2}+3i^{3}=i - 2 - 3i=-2 - 2i$，$\overline{z}=-2 + 2i$，所以$z$的虚部为$-2$，$|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{2}$，$z-\overline{z}=-4i$，$z^{2}=(-2 - 2i)^{2}=4 + 8i - 4 = 8i$.

8. [2025安徽皖中名校联盟期中]下列关于复数$z$的说法正确的有(ACD)

A.若复数$z$满足满足$|z - 1| = |z - i|$，则$z$在复平面内对应的点的轨迹为直线
B.若复数$z$的平方是纯虚数，则复数$z$的实部和虚部相等
C.若$|z| = 1$，则$z + \frac{1}{z}$为实数
D.若$z^3 = 1$，则$\overline{z} = z^2$

答案： 8. ACD 对于A，设$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，则$z - 1 = a - 1 + bi$，$z - i = a+(b - 1)i$，所以$|z - 1|^{2}=(a - 1)^{2}+b^{2}$，$|z - i|^{2}=a^{2}+(b - 1)^{2}$.由$|z - 1| = |z - i|$，得$|z - 1|^{2}=|z - i|^{2}$，整理化简可得$a = b$，由复数的几何意义知，复数$z$在复平面内对应的点在直线$y = x$上，故A正确.对于B，当$z = 1 - i$时，$z^{2}=-2i$为纯虚数，其实部和虚部不相等，故B错误.对于C，设$z = m + ni$，$m,n\in\mathbf{R}$，则$m^{2}+n^{2}=1$，所以$z+\frac{1}{z}=m + ni+\frac{m - ni}{(m + ni)(m - ni)}=m + ni+\frac{m - ni}{m^{2}+n^{2}}=2m$，故C正确.对于D，因为$z^{3}=1$，所以$z^{3}-1 = 0$，即$(z - 1)(z^{2}+z + 1)=0$，解得$z = 1$或$z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$.当$z = 1$时，$z = z^{2}=1$；当$z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$时，$z^{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$；当$z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$时，$z^{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.综上所述，$z = z^{2}$，故D正确.