《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 给出下列命题，其中正确的是(BC)

A.空间四点共面，则其中必有三点共线
B.空间四点不共面，则其中任何三点不共线
C.空间四点中存在三点共线，则此四点共面
D.空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面

答案： 8.BC 由正方形的四个顶点共面，知A,D错误；由基本事实1知空间四点不共面，则其中任意三点不共线，故B正确；在C中，由推论1知空间四点中存在三点共线，则此四点共面，故C正确.

9. 如图，在三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，E，F，G，H 分别为$BB_1$，$CC_1$，$A_1B_1$，$A_1C_1$的中点，则下列说法正确的是(AB)


A.E，F，G，H 四点共面
B.$EF// GH$
C.EG，FH，$AA_1$三线不共点
D.$\angle EGB_1=\angle FHC_1$

答案：
9.AB 对于A,B，如图所示，连接$EF,GH$，因为$GH$是$\triangle A_1B_1C_1$的中位线，所以$GH// B_1C_1$，且$GH=\frac{1}{2}B_1C_1$，又因为$B_1E// C_1F$，且$B_1E=C_1F$，所以四边形$B_1EFC_1$是平行四边形，所以$EF// B_1C_1$，所以$EF// GH$，且$GH=\frac{1}{2}EF$，所以四边形$EFHG$为梯形，所以$E,F,G,H$四点共面，所以A,B正确；对于C，如图所示，延长$EG,FH$相交于点$P$，因为$P\in EG,EG\subset$平面$ABB_1A_1$，所以$P\in$平面$ABB_1A_1$，因为$P\in FH,FH\subset$平面$ACC_1A_1$，所以$P\in$平面$ACC_1A_1$，因为平面$ABB_1A_1\cap$平面$ACC_1A_1=AA_1$，所以$P\in AA_1$，所以$EG,FH,AA_1$三线共点，所以C错误；对于D，因为$E_1B_1=FC_1$，所以当$GB_1\neq HC_1$时，$\tan\angle EGB_1\neq\tan\angle FHC_1$，又$0＜\angle EGB_1,\angle FHC_1＜\frac{\pi}{2}$，则$\angle EGB_1\neq\angle FHC_1$，所以D错误.

10. 已知 A，B，C 是直线 l 上的三点，点 D，E 不在 l 上，那么由 A，B，C，D，E 五点最多可确定5个平面.

答案： 10.5 由基本事实1可知，不共线三点确定一个平面，故由题意，$A,B,C,D,E$五点最多可形成平面$ADE$、平面$BDE$、平面$CDE$、平面$ACD$、平面$ACE$，共5个平面.

11. 下列推断中，正确的是①②④(填序号).
①$A\in l$，$A\in \alpha$，$B\in l$，$B\in \alpha \Rightarrow l\subset \alpha$；
②$A\in \alpha$，$A\in \beta$，$B\in \alpha$，$B\in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta =AB$；
③$l\not\subset \alpha$，$A\in l\Rightarrow A\notin \alpha$；
④$A,B,C\in \alpha$，$A,B,C\in \beta$，且 A，B，C 不共线$\Rightarrow \alpha$，β重合.

答案： 11.①②④ 直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以③错误，根据点、线、面的关系可知其余都对.

12. 如果三个平面把空间分成 6 个部分，那么这三个平面的位置关系可以是②④(填序号).
①三个平面两两平行；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线；
③三个平面两两相交，且有三条交线；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交.

答案： 12.②④ ①三个平面两两平行，可把空间分成4个部分；②三个平面两两相交，且交于同一条直线，可把空间分成6个部分；③三个平面两两相交，且有三条交线，可把空间分成7个部分或8个部分；④两个平面平行，且都与第三个平面相交，可把空间分成6个部分.

13. 如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，M 是$A_1C_1$和$B_1D_1$的交点，$B_1D$与平面$A_1BC_1$交于点 N.
(1)求证：B，N，M 三点共线.
(2)若$AB = BC = 4$，$BB_1$为长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的一条高，且$BB_1 = 6$，求四棱锥$N - ABCD$的体积.

答案：
13.
(1)证明：因为$N\in B_1D_1,B_1D_1\subset$平面$BB_1D_1D$，所以$N\in$平面$BB_1D_1D$.又$N\in$平面$A_1BC_1$，平面$BB_1D_1D\cap$平面$A_1BC_1=BM$，所以$N\in BM$，即$B,N,M$三点共线.
(2)解：如图，连接$BD$，则$\triangle B_1MN$与$\triangle DBN$相似，所以$\frac{B_1N}{DN}=\frac{B_1M}{DB}=\frac{1}{2}$，所以$DN=\frac{2}{3}DB_1$.在$\triangle BDB_1$中，作$NO// BB_1$交$DB$于点$O$，则$ON=\frac{2}{3}BB_1=4$，所以$V_{N - ABCD}=\frac{1}{3}×4×4×4=\frac{64}{3}$.

核心笔记
1.证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可.（练习运用：第9题）
2.要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上.（练习运用：第7题、第13题）
3.证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上.（练习运用：第9题、第12题）
4.作几何体的截面时，要利用平面的基本性质，注意两直线的交点只有在同一平面内才可作出，平行线也只能在同一平面内才能作出.