《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 在复平面内,复数 $ z = (a^{2} - 2a) + (a^{2} - a - 2)i $ 对应的点在虚轴上,则 $ a $ 的值为 (A)

A.0 或 2
B.0
C.2
D.1

答案： 1.A 因为$z=(a^{2}-2a)+(a^{2}-a-2)i$对应的点在虚轴上，所以$a^{2}-2a=0$，解得$a=0$或$a=2$.

2. (教材变式)在复平面内,复数 $ z_{1} = -1 + i $ 与复数 $ z_{2} $ 对应的点关于实轴对称,则 $ |z_{2}| = $ (B)

A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.2

答案： 2.B $z_1=-1+i$，其在复平面内对应的点为$(-1,1)$，从而$z_2$对应的点为$(-1,-1)$，则复数$z_2=-1-i$.所以$\vert z_2\vert =\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$.
教材链接人教A版必修二习题7.1第7题改编
方法总结 复数$z$与其共轭复数$\overline{z}$具有实部相等、虚部相反的特点，所以两数对应的点关于实轴对称且满足$\vert z\vert =\vert\overline{z}\vert$.

3. 已知复数 $ z = \frac{1}{a} + (2 - a)i $ (i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在直线 $ y = x $ 上,若 $ a \in \mathbf{R} $,则 $ |z| = $ (A)

A.$ \sqrt{2} $
B.2
C.$ \sqrt{10} $
D.10

答案： 3.A 因为$z=\frac{1}{a}+(2-a)i$在复平面内对应的点$Z(\frac{1}{a},2-a)$在直线$y = x$上，所以$\frac{1}{a}=2-a$，解得$a = 1$，则$z = 1+i$，故$\vert z\vert =\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.

4. 已知复数 $ z $ 对应的向量为 $ \overrightarrow{OZ} $ (O 为坐标原点), $ \overrightarrow{OZ} $ 与实轴正向的夹角为 $ 120^{\circ} $,且复数 $ z $ 的模为 2,则复数 $ z $ 为 (D)

A.$ 1 + \sqrt{3}i $
B.2
C.$ 1 - \sqrt{3}i $
D.$ -1 + \sqrt{3}i $

答案： 4.D 设复数$z$对应的点为$(x,y)$，则$x=\vert z\vert\cos120^{\circ}=2×(-\frac{1}{2})=-1$，$y=\vert z\vert\sin120^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，则复数$z$对应的点为$(-1,\sqrt{3})$，所以复数$z=-1+\sqrt{3}i$.

5. 已知复数 $ z = (a - 1) - 2ai(a \in \mathbf{R}) $,且 $ |z| = 5 $,若 $ z $ 在复平面内对应的点位于第二象限,则 $ a = $ (A)

A.-2
B.$ -\frac{12}{5} $
C.2
D.$ \frac{12}{5} $

答案： 5.A 由题意得$\vert z\vert =\sqrt{(a - 1)^{2}+(-2a)^{2}}=5$，得$5a^{2}-2a - 24 = 0$，解得$a=-2$或$a=\frac{12}{5}$.由于$z$在复平面内对应的点位于第二象限，所以$\begin{cases}a - 1\lt0\\-2a\gt0\end{cases}$，解得$a\lt0$，故$a=-2$.

6. 设复数 $ z_{1},z_{2} $ 满足 $ |z_{1}| = |z_{2}| = 2,z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} + i $,则 $ |z_{1} - z_{2}| = $ (A)

A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \sqrt{3} $
C.2
D.1

答案：
6.A 解法1　设$z_1,z_2$在复平面内对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，则$z_1 + z_2$对应的向量为$\overrightarrow{OZ_3}$，如图所示.
因为$z_1 + z_2=\sqrt{3}+i$，所以$\vert z_1 + z_2\vert =\sqrt{3 + 1}=2$，所以$\cos\angle OZ_3Z_1=\frac{2^{2}+2^{2}-2^{2}}{2×2×2}=\frac{1}{2}$.又因为$\angle OZ_3Z_1+\angle Z_1OZ_2 = 180^{\circ}$，所以$\cos\angle Z_1OZ_2=-\cos\angle OZ_3Z_1=-\frac{1}{2}$，所以$\vert\overrightarrow{Z_1Z_2}\vert^{2}=\vert\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}\vert^{2}=\overrightarrow{OZ_1}^{2}+\overrightarrow{OZ_2}^{2}-2\overrightarrow{OZ_1}·\overrightarrow{OZ_2}\cos\angle Z_1OZ_2=4 + 4 + 4=12$，所以$\vert z_1 - z_2\vert =\vert\overrightarrow{Z_1Z_2}\vert = 2\sqrt{3}$.
　　　　　　
解法2 设$z_1,z_2$在复平内对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ_1},\overrightarrow{OZ_2}$，则$z_1 + z_2$对应的向量为$\overrightarrow{OZ_3}$，如上图所示.
因为$z_1 + z_2=\sqrt{3}+i$，所以$\vert z_1 + z_2\vert =\sqrt{3 + 1}=2$，所以$\triangle OZ_3Z_1$是边长为$2$的等边三角形，所以$\vert z_1 - z_2\vert =\vert\overrightarrow{Z_1Z_2}\vert = 2×\vert\overrightarrow{OZ_1}\vert×\cos30^{\circ}=2\sqrt{3}$.

7. 已知复数 $ z = -4i + 3 $,则下列命题正确的是 (AD)

A.$ |z| = 5 $
B.$ z $ 的虚部是 3
C.$ \overline{z} = -4i - 3 $
D.$ z $ 在复平面上对应点的坐标为 $ (3,-4) $

答案： 7.AD 因为$z = 3 - 4i$，所以$\vert z\vert =\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5$，A正确；$z$的虚部是$-4$，B错误；$z$的共轭复数$\overline{z} = 3 + 4i$，C错误；$z$在复平面上对应点的坐标是$(3,-4)$，D正确.

8. 已知复数 $ z = x + yi(x,y \in \mathbf{R}) $ 满足 $ |z - 1| = |z - 2| $,则下列说法正确的是 (BD)

A.$ z $ 一定是虚数
B.$ z $ 在复平面内表示的图形是一条直线
C.$ \overline{z} $ 在复平面内对应的点 $ \overline{Z} $ 经过第二、三象限
D.$ |z| $ 只有最小值,无最大值

答案： 8.BD 对于A，由$\vert z - 1\vert =\vert z - 2\vert$，得$\vert x - 1+yi\vert =\vert x - 2+yi\vert$，所以$(x - 1)^{2}+y^{2}=(x - 2)^{2}+y^{2}$，解得$x=\frac{3}{2},y\in\mathbf{R}$，当$y = 0$时，$z$是实数，A错误；
解法1 由A知，$z=\frac{3}{2}+yi(y\in\mathbf{R})$在复平面内表示直线$x=\frac{3}{2}$，B正确；
解法2 设复数$z$在复平面内对应的点为$Z(x,y)$，令$A(1,0)$，$B(2,0)$，则$\vert z - 1\vert =\vert z - 2\vert$的几何意义为$\vert ZA\vert =\vert ZB\vert$，即点$Z$的轨迹为$AB$的中垂线，中垂线方程为$x=\frac{3}{2}$，B正确；对于C，由A知$Z(x,-y)$的轨迹方程仍然为$x=\frac{3}{2}$，C错误；由$\vert z\vert$的几何意义知，其对应点$Z(x,y)$到原点的距离$\vert OZ\vert$的最小值为$\frac{3}{2}$，无最大值，D正确.

9. 设复数 $ z_{1} = \sqrt{3} + i,z_{2} = x + yi(x,y \in \mathbf{R}) $, $ z_{1},z_{2} $ 对应的向量分别为 $ \overrightarrow{OZ_{1}},\overrightarrow{OZ_{2}} $ (O 为坐标原点),则 (ACD)

A.$ |z_{1}| = 2 $
B.若 $ \overrightarrow{OZ_{1}} // \overrightarrow{OZ_{2}} $,则 $ \sqrt{3}x + y = 0 $
C.若 $ \overrightarrow{OZ_{1}} \perp \overrightarrow{OZ_{2}} $ 且 $ |z_{1}| = 1 $,则 $ y = \pm \frac{1}{2} $
D.若复数 $ z_{2} $ 满足 $ 1 \leq |z_{2}| \leq \sqrt{2} $,则复数 $ z_{2} $ 对应的点所构成的图形面积为 $ \pi $

答案： 9.ACD 对于A，$\vert z_1\vert =\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2$，A正确；对于B，$z_1=\sqrt{3}+i$对应的向量为$\overrightarrow{OZ_1}=(\sqrt{3},1)$，$z_2=x + yi$对应的向量为$\overrightarrow{OZ_2}=(x,y)$，因为$\overrightarrow{OZ_1}//\overrightarrow{OZ_2}$，所以$x=\sqrt{3}y$，故B错误；对于C，若$\overrightarrow{OZ_1}\perp\overrightarrow{OZ_2}$，则$\sqrt{3}x + y = 0$，即$y=-\sqrt{3}x$，又因为$\vert z_2\vert = 1$，所以$x^{2}+y^{2}=1$，联立方程组$\begin{cases}y=-\sqrt{3}x\\x^{2}+y^{2}=1\end{cases}$，可得$x^{2}=\frac{1}{4}$，解得$x=\pm\frac{1}{2}$，所以C正确；对于D，依题意，复数$z_2$对应的点在以原点为圆心，内圆半径为$1$，外圆半径为$\sqrt{2}$的圆环上，故所构成的图形面积为$2\pi-\pi=\pi$，故D正确.