《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 如图，△A'B'C'是利用斜二测画法画出的△ABC 的直观图，其中 A'C' // y'轴，A'B' // x'轴，且 A'B' = B'C' = 2，则△ABC 的边 BC = (C)

A.2
B.4
C.6
D.2√2

答案：
1.C由题意可得还原后的△ABC如图:
　　　　　　　　
在△A'B'C'中,∠C'A'B'=45°,由余弦定理得$\cos 45° = \frac{2^{2} + A'C'^{2} - 2^{2}}{2 × 2 × A'C'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$A'C' = 2\sqrt{2}$，所以$AB = A'B' = 2$，$AC = 2A'C' = 4\sqrt{2}$，∠BAC = 90°，则$BC = \sqrt{(4\sqrt{2})^{2} + 2^{2}} = 6$。

2. 如图，△ABC 斜二测画法的直观图是△A'B'C'，△A'B'C'的面积为 6，那么△ABC 的面积为 (A)

A.12√2
B.24√2
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.3√2

答案：
2.A设$O'C' = h$，过点C'作C'D'⊥x'轴，垂足为点D'，设A'B'=a，如图1所示.
　　　　　　
则$C'D' = h\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}h$，故$S_{\triangle A'B'C'} = \frac{1}{2}a · C'D' = \frac{1}{2}a · \frac{\sqrt{2}}{2}h = \frac{\sqrt{2}}{4}ah = 6$，可得$ah = 12\sqrt{2}$。还原△ABC如图2所示，则$AB = a$，$OC = 2h$。

故$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2}a · 2h = ah = 12\sqrt{2}$。

3. 水平放置的△ABC 有一边在水平线上，它的直观图是正三角形，则△ABC 是 (C)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形

答案： 3.C由直观图还原平面图形，易知答案是C。
解题突破 将水平放置的平面图形还原成原来的图形的作法为画直观图的逆过程，即保持平行于x轴的线段长度不变，将平行于y轴的线段长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。

4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图 A'B'C'D'为矩形，其中 A'D' = 2A'B' = 2，则原平面图形的周长为 (C)

A.3√3
B.8
C.14
D.2 + 2√6

答案：
4.C由直观图还原原平面图形，如图:
　　　　　　　
由四边形A'B'C'D'为矩形,得A'D'⊥OA',且∠A'O'D'=45°,即△A'O'D'为等腰直角三角形,则$OA = O'A' = A'D' = 2$，$O'D' = \sqrt{2}A'D' = 2\sqrt{2}$，在原图形中，$OD = 2O'D' = 4\sqrt{2}$，$AD = \sqrt{OA^{2} + OD^{2}} = \sqrt{4 + (4\sqrt{2})^{2}} = 6$。又$A'B' // C'D'$，$A'B' = C'D'$，则在原图形中，$AB // CD$，$AB = CD$，即四边形ABCD为平行四边形，因此$BC = AD = 6$，$CD = AB = A'B' = 1$，所以原平面图形的周长为$AB + BC + CD + AD = 1 + 6 + 1 + 6 = 14$。

5. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形△OAB 的直观图为如图所示的△O'A'B'，已知△O'A'B'是边长为 2 的等边三角形，则顶点 B 到 x 轴的距离是 (A)

A.2√6
B.4
C.2√3
D.2√2

答案：
5.A过点B'作B'B"//y'轴交x轴于点B"，如图所示.
　　　　　　　
在△B'B"O'中，$O'B' = 2$，∠B'B"O' = 45°，∠B'O'B" = 120°，由正弦定理可得，$\frac{B'B''}{\sin 120°} = \frac{B'O'}{\sin 45°}$，所以$B'B'' = \frac{B'O' · \sin 120°}{\sin 45°} = \frac{2 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}$，由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是$2B'B'' = 2\sqrt{6}$。

6. 用斜二测画法画出△ABC 的直观图△A'B'C'如图所示，在△A'B'C'中，内角 A'，B'，C'的对边分别为 a'，b'，c'，满足 a'² - c'² = b'c' + b'²，且 b' = 1，则△ABC 的边 AB 上的高为 (C)

A.√2
B.√3
C.√6
D.2√6 - 2√2

答案： 6.C由$a'^{2} - c'^{2} = b'c' + b'^{2}$得$b'^{2} + c'^{2} - a'^{2} = -b'c'$。根据余弦定理得$\cos A' = \frac{-b'c'}{2b'c'} = -\frac{1}{2}$。因为0° ＜ A' ＜ 180°，所以$A' = 120°$。又$b' = 1$，即$A'C' = 1$，则△A'B'C'的边A'B'上的高$h' = A'C' \sin 60° = 1 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。所以$O'C' = \sqrt{2}h'$。根据斜二测画法的特征知原△ABC的边AB上的高$h = OC = 2O'C' = 2\sqrt{2}h' = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$。所以△ABC的边AB上的高为$\sqrt{6}$。

7. (教材变式)关于斜二测画法，以下结论正确的是 (AB)

A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形

答案： 7.AB根据斜二测画法可知A，B正确。
高中数学小题I做修弟二.RA
高中数学小题I做修弟二.RA教材链接人教A版必修二练习第1题改编

8. 如图，已知水平放置的等腰三角形 ABC，则它的直观图可能是 (CD)

答案： 8.CD原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，C，D两图分别为在∠x'O'y'成45°和135°的坐标系中的直观图。