《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 在空间中,下列命题正确的是 (B)
①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一个平面的两条直线平行.

A.①③④
B.①④
C.①
D.①②③④

答案：
1. B　对于①，该命题就是平行公理，即基本事实4，因此该命题是正确的。对于②，如图1，直线$a\perp$平面$\alpha$，$b\subset\alpha$，$c\subset\alpha$，且$b\cap c = A$，则$a\perp b$，$a\perp c$，即平面$\alpha$内两条相交直线$b$，$c$都垂直于同一条直线$a$，但$b$，$c$的位置关系并不平行。另外，$b$，$c$的位置关系也可能是异面，如果把直线$b$平移到平面$\alpha$外，此时，$b$与$a$仍是垂直，但此时$b$，$c$的位置关系是异面。对于③，如图2，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，易知$A_1B_1//$平面$ABCD$，$A_1D_1//$平面$ABCD$，但$A_1B_1\cap A_1D_1 = A_1$，因此该命题是错误的。对于④，该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的。
　　　 　　

2. 已知直线$ l $与平面$ \alpha $交于点$ O $,$ A \in l $,$ B \in l $,$ A \notin \alpha $,$ B \notin \alpha $,且$ OA = AB $.若$ AC \perp $平面$ \alpha $,垂足为$ C $,$ BD \perp $平面$ \alpha $,垂足为$ D $,$ AC = 1 $,则$ BD = $ (A)

A.2
B.1
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案：
2. A　如图，因为$AC\perp$平面$\alpha$，$BD\perp$平面$\alpha$，所以$AC// BD$。连接$OD$，则$OD$过点$C$，所以$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}$。因为$OA = AB$，所以$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$。因为$AC = 1$，所以$BD = 2$。
　　　　　　　

3. 教材变式 从正方体六个面的对角线中任取一条与体对角线作为一对,其中所成的角为$ 90^{\circ} $的共有 (A)

A.24对
B.36对
C.48对
D.60对

答案：
3. A　如图，在正方体中选择体对角线$AC_1$。因为$AB\perp$平面$BCC_1B_1$，$B_1C\subset$平面$BCC_1B_1$，所以$AB\perp B_1C$；又$BC\perp B_1C$，$AB\cap BC = B$，所以$B_1C\perp$平面$ABC$。又$AC\subset$平面$ABC$，所以$B_1C\perp AC$。同理，平面$ABCD$中的$BD$、平面$A_1B_1C_1D_1$中的$B_1D_1$、平面$ADD_1A_1$中的$A_1D$、平面$ABB_1A_1$中的$A_1B$、平面$DCC_1D_1$中的$D_1C$，共6条面对角线与体对角线$AC_1$所成角为$90^{\circ}$。又体对角线共有4条，所以满足题意的共有24对。
　　　　　　　　
教材链接人教A版必修二8.6.1练习第2题改编

4. 如图所示,$ PA \perp $平面$ ABC $,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ EF // PA $,且$ CE $与$ AB $不垂直,则图中直角三角形的个数是 (C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 4. C　因为$PA\perp$平面$ABC$，$AB$，$AC\subset$平面$ABC$，所以$\triangle PAB$，$\triangle PAC$为直角三角形。因为$EF// PA$，所以$EF\perp$平面$ABC$，$CE$，$BE\subset$平面$ABC$，所以$\triangle EFC$，$\triangle EFB$为直角三角形。又因为$PA\perp BC$，$AC\perp BC$，$PA\cap AC = A$，所以$BC\perp$平面$PAC$，又$PC\subset$平面$PAC$，所以$BC\perp PC$，所以$\triangle PCB$为直角三角形。所以直角三角形有$\triangle PAB$，$\triangle PAC$，$\triangle EFC$，$\triangle EFB$，$\triangle PCB$，$\triangle ABC$，共6个。

5. 已知$ PA $,$ PB $,$ PC $是从点$ P $出发的三条射线,若$ PA \perp PB $,$ \angle APC = \angle BPC = 60^{\circ} $,则直线$ PC $与平面$ PAB $所成角的正弦值是 (B)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \frac{\sqrt{6}}{3} $

答案：
5. B　如图，过点$C$作$CG\perp$平面$PAB$于点$G$，在平面$PAB$内过$G$作$GH\perp PA$，$GE\perp PB$，垂足分别为$H$，$E$，连接$CH$，$CE$，则$\angle CPG$为直线$PC$与平面$PAB$所成的角。由$CG\perp$平面$PAB$，得$CG\perp PA$，$CG\cap GH = G$，$GH$，$CG\subset$平面$CHG$，则$PA \perp$平面$CHG$。又$CH\subset$平面$CHG$，所以$PA\perp CH$。同理$PB\perp CE$。由$\angle APC = \angle BPC = 60^{\circ}$，得$PE = PH = \frac{1}{2}PC$。又$PA\perp AB$，因此四边形$PEGH$为正方形，则$PG = \sqrt{2}PH = \frac{\sqrt{2}}{2}PC$，所以$\cos\angle CPG = \frac{PG}{PC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\sin\angle CPG = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
　　　　　　　　

6. 如图,设平面$ \alpha \cap $平面$ \beta = PQ $,$ EG \perp $平面$ \alpha $,$ FH \perp $平面$ \alpha $,垂足分别为$ G $,$ H $.为使$ PQ \perp GH $,则需增加的一个条件是 (B)

A.$ EF \perp $平面$ \alpha $
B.$ EF \perp $平面$ \beta $
C.$ PQ \perp GE $
D.$ PQ \perp FH $

答案： 6. B　因为$EG\perp$平面$\alpha$，$PQ\subset$平面$\alpha$，所以$EG\perp PQ$。若$EF\perp$平面$\beta$，则由$PQ\subset$平面$\beta$，得$EF\perp PQ$。又$EG$与$EF$为相交直线，所以$PQ\perp$平面$EFHG$，所以$PQ\perp GH$。

7. 在四棱锥$ O - ABCD $中,底面$ ABCD $是边长为4的正方形,$ OA \perp $底面$ ABCD $,$ OA = 4 $,$ M $,$ N $,$ R $分别是$ OA $,$ BC $,$ AD $的中点,则以下说法正确的是 (BD)

A.直线$ MN $与平面$ OCD $的距离为$ \sqrt{5} $
B.平面$ MNR $与平面$ OCD $的距离为$ \sqrt{2} $
C.点$ M $与平面$ OCD $的距离为$ \sqrt{5} $
D.点$ N $与平面$ OCD $的距离为$ \sqrt{2} $

答案：
7. BD　如图，分别取$MR$，$OD$的中点$E$，$F$，连接$AF$。因为$M$，$N$，$R$分别是$OA$，$BC$，$AD$的中点，所以$MR// OD$，$NR// CD$，又$MR\not\subset$平面$OCD$，$OD\subset$平面$OCD$，所以$MR//$平面$OCD$。同理，$NR//$平面$OCD$。又$MR\cap NR = R$，所以平面$MNR//$平面$OCD$。又$MR// OD$，$MR$，$OD$的中点分别为$E$，$F$，所以$AF$过点$E$。因为$OA = AD$，所以$AF\perp OD$，$AF\perp MR$。因为$CD\perp AD$，$OA\perp CD$，$OA\cap AD = A$，所以$CD\perp$平面$OAD$。因为$AF\subset$平面$OAD$，所以$CD\perp AF$，因为$CD\cap OD = D$，所以$AF\perp$平面$OCD$。又平面$MNR//$平面$OCD$，所以$AF\perp$平面$MNR$，所以$EF$的长是两平面间的距离。因为$OA = AD = 4$，$OA\perp AD$，所以$AF = 2\sqrt{2}$，则$EF = \sqrt{2}$，所以平面$MNR$与平面$OCD$的距离、直线$MN$与平面$OCD$的距离、点$M$和$N$与平面$OCD$的距离都为$\sqrt{2}$。
　　　　　　　

8. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵$ ABC - A_{1}B_{1}C_{1} $中,$ AC \perp BC $,且$ AA_{1} = AB = 2 $.则下列说法正确的是 (ABD)

A.四棱锥$ B - A_{1}ACC_{1} $为“阳马”
B.四面体$ A_{1}C_{1}CB $为“鳖臑”
C.四棱锥$ B - A_{1}ACC_{1} $体积最大为$ \frac{2}{3} $
D.过点$ A $分别作$ AE \perp A_{1}B $于点$ E $,$ AF \perp A_{1}C $于点$ F $,则$ EF \perp A_{1}B $

答案： 8. ABD　对于$A$，$AA_1\perp BC$，$AC\perp BC$，且$AA_1\cap AC = A$，则$BC\perp$平面$AA_1C_1C$，所以四棱锥$B - A_1ACC_1$为“阳马”，故A正确。对于$B$，由$AC\perp BC$，即$A_1C\perp BC$，又$A_1C\perp C_1C$，且$C_1C\cap BC = C$，得$A_1C\perp$平面$BB_1C_1C$，所以$A_1C\perp BC_1$，则$\triangle A_1BC_1$为直角三角形。又由$BC\perp$平面$AA_1C_1C$，得$\triangle A_1BC$为直角三角形。由“堑堵”的定义可得$\triangle A_1C_1C$，$\triangle CC_1B$为直角三角形。所以四面体$A_1C_1CB$为“鳖臑”，故B正确。对于$C$，在底面有$4 = AC^2 + BC^2\geqslant2AC· BC$，即$AC· BC\leqslant2$，当且仅当$AC = BC$时取等号。$V_{B - A_1ACC_1}=\frac{1}{3}S_{矩形A_1ACC_1}× BC=\frac{1}{3}AA_1× AC× BC=\frac{2}{3}AC× BC\leqslant\frac{4}{3}$，所以C不正确。对于$D$，因为$BC\perp$平面$AA_1C_1C$，则$BC\perp AF$，$AF\perp AC$且$AC\cap BC = C$，则$AF\perp$平面$ABC$，所以$AF\perp A_1B$，又$AE\perp A_1B$且$AF\cap AE = A$，则$A_1B\perp$平面$AEF$，则$A_1B\perp EF$，所以D正确。