《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

9. 有一张长方形的纸(如图所示)，现可任意沿虚线将其剪开或折叠(不将纸剪断)，可以得到的图形的直观图是 (ABD)

答案：
9.ABD如图，选项A，沿着竖线LG和NI剪开，沿中间线GI上翻得到。选项B，沿着竖线DI和CH剪开，LG和MH剪开，沿中间线HI和GH上翻得到。选项C，四边形LGHM和四边形BCHG都被剪了，四边形MHIN和四边形HIDC位置冲突，所以不可能得到。选项D，沿着竖线LG和NI剪开，沿中间线GI上翻，再沿着竖线CH线剪开，沿中间线HJ下翻得到。

10. 已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为5 cm。

答案：
10.5其直观图如图所示，由图可得，直观图中这两个顶点之间的距离为5cm。
　　　　　　　　

11. 如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的△ABC 及边 BC 上中线 AD 的直观图是△A'B'C'及 A'D'，其中 A'B' = B'C'，试按此图判定原△ABC 中的 AB，BC，AC，AD 四条线段中最长的线段是AC；最短的线段是BC。

答案： 11.AC BC由斜二测法可知原图形是个直角三角形，其中∠B为直角，$AB = 2BC$，则$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} ＞ AD = \sqrt{AB^{2} + BD^{2}} ＞ AB ＞ BC$，故最长的线段为AC，最短的为BC。

12. 若用斜二测法作出边长为 2 的正三角形 ABC 的直观图是△A₁B₁C₁，则△A₁B₁C₁ 的重心 G₁ 到底边 A₁B₁ 的距离是$\frac{\sqrt{6}}{12}$。

答案：
12.$\frac{\sqrt{6}}{12}$如图，取边AB所在的直线为x轴，过AB的中点O且垂直于x轴的直线为y轴，因为$AB = 2$，所以$OC = \sqrt{3}$，则在直观图中，$O'C_1 = \frac{1}{2}OC = \frac{\sqrt{3}}{2}$。由点C'向O'x'作垂线，垂足为M，则在$Rt\triangle C_1O'M$中，$O'C_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，∠C₁O′M = 45°，所以$C_1M = \frac{\sqrt{6}}{4}$，又因为重心$G_1$到底边的距离是$C_1M$的$\frac{1}{3}$，所以距离为$\frac{\sqrt{6}}{12}$。
　　 　　

13. 用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）。
（1）正方形 ABCD；

（2）直角梯形 ABCD；

（3）等边三角形 ABC；

（4）平行四边形 OABC。

答案：
13.解:
(1)①作坐标系x'A'y';
②在x'轴上取B'，使得A'B' = AB，在y'轴上取D'，使得A'D' = $\frac{1}{2}$AD；
③作D'C'//x'轴且D'C' = DC，连接C'B';
④去掉x'轴、y'轴，得四边形A'B'C'D'，如图为正方形ABCD的直观图。
　　 　　　
(2)①作坐标系x'A'y';
②在x'轴上取B'，使得A'B' = AB，在y'轴上取D'，使得A'D' = $\frac{1}{2}$AD；
③作D'C'//x'轴且D'C' = DC，连接C'B';
④去掉x'轴、y'轴，得梯形ABCD的直观图。
　　 　　　
(3)①作坐标系x'B'y';
②在x轴上取C'，使得B'C' = BC，设AB中点为D，连接AD，取B'C'中点的D'，作D'A'//y'轴，使得A'D' = $\frac{1}{2}$AD；
③连接A'B'，A'C';
④去掉x'轴、y'轴，得△A'B'C'，如图为等边三角形ABC的直观图。
　　 　　　
(4)①作坐标系x'O'y';
②在x'轴上取A'，使得O'A' = OA，设CD⊥x轴，D为垂足，在O'A'上取D'，使得O'D' = OD，作D'C'//y'轴，使得D'C' = $\frac{1}{2}$DC；
③作C'B'//x'轴且C'B' = CB，连接A'B';
④去掉x'轴、y'轴，得四边形O'A'B'C'，如图为平行四边形OABC的直观图。
　　 　　　
＞核心笔记
1.根据斜二测画法的规则推导的平面图形直观图面积与原图形面积之间的关系结论，可直接用于解题。(练习运用:第2题、第6题、第9题)
2.注意立体图形的直观图中竖坐标方向的长度不变。(练习运用:第3题、第10题)