《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

10. $ 3 + 4i $ 的平方根是$2 + \mathrm{i}$或$-2 - \mathrm{i}$。

答案： 10. $2 + \mathrm{i}$或$-2 - \mathrm{i}$ 设$3 + 4\mathrm{i}$的平方根为$x + y\mathrm{i}(x,y\in\mathbf{R})$,则$(x + y\mathrm{i})^2 = 3 + 4\mathrm{i}$,即$\begin{cases}x^2 - y^2 = 3\\2xy = 4\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2\\y = -1\end{cases}$,所以$3 + 4\mathrm{i}$的平方根是$2 + \mathrm{i}$或$-2 - \mathrm{i}$

11. 已知复数 $ z $ 是关于 $ x $ 的实系数一元二次方程 $ x^2 + 2x + p = 0 $ 的一个根，且 $ |z| = 2 $，则实数 $ p $ 的所有可能取值的和为$-4$。

答案： 11. $-4$ 当$\Delta = 4 - 4p\geqslant0$,即$p\leqslant1$时,实系数一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$有两个实根,从而$z\in\mathbf{R}$.由$|z| = 2$,可得$z = 2$或$z = -2$.若$z = 2$,则$2^2 + 2×2 + p = 0$,解得$p = -8$;若$z = -2$,则$(-2)^2-2×(-2)+p = 0$,解得$p = 0$.当$\Delta = 4 - 4p ＜ 0$,即$p ＞ 1$时，实系数一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$有两个虚数根，从而$z$是虚数，则$z$,$\overline{z}$均是方程的根,所以$p = z·\overline{z}=|z|^2 = 4$.综上,$p$的可能取值为$-8$,$0$,$4$,其和为$-8 + 0 + 4 = -4$.

12. 若复数 $ z $ 满足 $ |z| = |z + 2| $ 且 $ |z + i^{21}| = |z - 3i| $，则 $ z · \overline{z} = $$2$。

答案： 12. $2$ 令$z = x + y\mathrm{i}$且$x,y\in\mathbf{R}$,由$|z| = |z + 2|$,得$x^2 + y^2=(x + 2)^2 + y^2$,解得$x = -1$.由$|z + \mathrm{i}^2| = |z - 3\mathrm{i}|$,得$|z + \mathrm{i}| = |z - 3\mathrm{i}|$,则$x^2+(y + 1)^2=x^2+(y - 3)^2$,解得$y = 1$,所以$z = \mathrm{i}-1$,则$z·\overline{z}=|z|^2 = 2$.

13. 已知复数 $ z_1 = a + i,z_2 = 1 - i $，其中 $ a $ 是实数。
(1) 若 $ z_1^2 = -2i $，求实数 $ a $ 的值；
(2) 若 $ \frac{z_1}{z_2} $ 是纯虚数，求 $ \frac{z_1}{z_2} + \left( \frac{z_1}{z_2} \right)^2 + \left( \frac{z_1}{z_2} \right)^3 + ·s + \left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2023} $。

答案： 13. 解：
(1)因为$z^2=(a + \mathrm{i})^2=(a^2 - 1)+2a\mathrm{i}=-2\mathrm{i}$,又$a$是实数,所以$\begin{cases}a^2 - 1 = 0\\2a = -2\end{cases}$,解得$a = -1$.
(2)因为$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}}=\frac{(a + \mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}{(1 - \mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}=\frac{a - 1}{2}+\frac{a + 1}{2}\mathrm{i}$,又$\frac{z_1}{z_2}$是纯虚数,所以$\begin{cases}\frac{a - 1}{2} = 0\frac{a + 1}{2}\neq0\end{cases}$,解得$a = 1$,则$\frac{z_1}{z_2}=\mathrm{i}$.又$\mathrm{i}^1=\mathrm{i}$,$\mathrm{i}^2=-1$,$\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}$,$\mathrm{i}^4 = 1$,所以当$n\in\mathbf{N}^*$时,$\mathrm{i}^{4n - 3}=\mathrm{i}$,$\mathrm{i}^{4n - 2}=-1$,$\mathrm{i}^{4n - 1}=-\mathrm{i}$,$\mathrm{i}^{4n}=1$,即当$n\in\mathbf{N}^*$时,$\mathrm{i}^{4n - 3}+\mathrm{i}^{4n - 2}+\mathrm{i}^{4n - 1}+\mathrm{i}^{4n}=0$,所以$\frac{z_1}{z_2}+(\frac{z_1}{z_2})^2+(\frac{z_1}{z_2})^3+·s+(\frac{z_1}{z_2})^{2023}=505(\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4)+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3=\mathrm{i}-1-\mathrm{i}=-1$.

14. [多选题]在复数范围内，利用公式 $ a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi) $，下列各式分解成一次因式的积，过程正确的是(AC)

A.$ x^2 + 4 = x^2 + 2^2 = (x + 2i)(x - 2i) $
B.$ a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b) $
C.$ x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 2^2 = (x + 1 + 2i)(x + 1 - 2i) $
D.$ 4x^4 - 9 = (2x^2 + 3)(2x^2 - 3) = (2x^2 + 3)(\sqrt{2}x + \sqrt{3})(\sqrt{2}x - \sqrt{3}) $

答案： 14. AC 对于选项A,$x^2 + 4=x^2 + 2^2=(x + 2\mathrm{i})·(x - 2\mathrm{i})$,A正确；对于选项B,$a^4 - b^4=(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)=(a + \mathrm{i}b)(a - \mathrm{i}b)(a + b)(a - b)$,B没有全部分解为一次因式,B不正确；对于选项C,$x^2 + 2x + 5=(x + 1)^2 + 2^2=(x + 1 + 2\mathrm{i})(x + 1 - 2\mathrm{i})$,C正确；对于选项D,$4x^4 - 9=(2x^2 + 3)(2x^2 - 3)=(\sqrt{2}x+\sqrt{3}\mathrm{i})(\sqrt{2}x-\sqrt{3}\mathrm{i})·(\sqrt{2}x+\sqrt{3})(\sqrt{2}x-\sqrt{3})$,D没有全部分解为一次因式，D不正确.