《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

11. 为了研究某种病毒与血型之间的关系,决定从被感染的人群中抽取样本进行调查,这些感染人群中 O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为 4:3:3:2,现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为 n 的样本,已知样本中 O 型血的人数比 AB 型血的人数多 20,则 n=120.

答案： 11. 120 因为感染人群中 O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为$4:3:3:2$，所以抽取样本量为$n$的样本中，O 型血的人数为$\frac{4}{4+3+3+2}n$，AB 型血的人数为$\frac{2}{4+3+3+2}n$，依题意有$\frac{4}{4+3+3+2}n - \frac{2}{4+3+3+2}n=20$，解得$n = 120$.

12. 某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为 a,b,c,若按不同选课组合采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个 120 人的样本,抽到三个不同选课组合的学生人数分别为 20,40,60,则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为$\frac{1}{6}a + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2}c$.

答案： 12. $\frac{1}{6}a + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2}c$ 因为三个不同选课组合的学生人数分别为 20,40,60，所以三个不同选课组合的学生的人数的比例分别为$\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2}$，所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均

13. 某校高中年级举办科技节活动,开设 A,B 两个会场,其中每个学生只能去一个会场,且参加活动的学生中有 25%去 A 会场,剩下的学生去 B 会场. 已知 A,B 会场学生年级及比例情况如下表所示:

记该校参加活动的高一、高二、高三年级学生占参加总人数的比例分别为 x,y,z,利用比例分配的分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为 n 的样本.
(1)求 x:y:z 的值;
(2)若抽到的 B 会场的高二学生有 75 人,求 n 的值以及抽到的 A 会场高一、高二、高三年级的学生人数.

答案： 13. 解：
(1)设该校高一、高二、高三年级参加活动的人数分别为$a,b,c$，则去 A 会场的学生总数为$0.25(a + b + c)$，去 B 会场的学生总数为$0.75(a + b + c)$，则对应人数如下表所示.
高一 高二 高三
A 会场$0.125(a + b + c)$ $0.1(a + b + c)$ $0.025(a + b + c)$
B 会场$0.3(a + b + c)$ $0.375(a + b + c)$ $0.075(a + b + c)$
则$x:y:z = 0.425(a + b + c):0.475(a + b + c):0.1(a + b + c)=17:19:4$.
(2)依题意，$n × 0.75 × 0.5 = 75$，解得$n = 200$，故抽到的 A 会场的学生总数为 50 人，其中高一年级人数为$50 × 50\% = 25$，高二年级人数为$50 × 40\% = 20$，高三年级人数为$50 × 10\% = 5$.

14. 某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出 400 人参加笔试,再按笔试成绩择优选出 100 人参加面试,现随机调查了 24 名笔试者的成绩,则面试的分数线大约为80分.

答案： 14. 80 从参加笔试的 400 人中择优选出 100 人，则被择优选出的人数比例为$\frac{1}{4}$，那么 24 名笔试者中能参加面试的人数为$24 × \frac{1}{4}=6$，由表格可知分数在$[80,85)$内的有 5 人，分数在$[85,90)$内的有 1 人，故面试的分数线大约为 80 分.