《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 已知$ O $为坐标原点，若点$ M $的坐标为$ (1,2) $，向量$ \overrightarrow{AB}=(1,2) $，则下列说法正确的是(CD)

A.点$ M $与点$ B $重合
B.点$ M $在直线$ AB $上
C.$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB} $
D.$ O,A,B,M $四点可以构成平行四边形

答案： 8.CD 由于点A、B的位置不确定，所以A、B错误。因为$O$为坐标原点，点$M$的坐标为$(1,2)$，所以$\overrightarrow{OM}=(1,2)$，又向量$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，所以$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$，故C正确。由于$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$，所以当$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{AB}$不共线时，$O$、$M$、$A$、$B$四点构成平行四边形，故D正确。

9. 如图所示的各个向量中，下列结论正确的是(AC)


A.$ \overrightarrow{PQ}=\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}b $
B.$ \overrightarrow{PT}=-\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}b $
C.$ \overrightarrow{PS}=\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b $
D.$ \overrightarrow{PR}=\frac{3}{2}a+b $

答案：
9.AC 如图，建立平面直角坐标系，则$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(-1,1)$。

故$\overrightarrow{PQ}=(0,3)=\frac{3}{2}(1,1)+\frac{3}{2}(-1,1)=\frac{3}{2}\boldsymbol{a}+\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$，A正确；$\overrightarrow{PT}=(3,0)=\frac{3}{2}(1,1)-\frac{3}{2}(-1,1)=\frac{3}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$，B错误；$\overrightarrow{PS}=(2,1)=\frac{3}{2}(1,1)-\frac{1}{2}(-1,1)=\frac{3}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，C正确；$\overrightarrow{PR}=(1,2)=\frac{3}{2}(1,1)+\frac{1}{2}(-1,1)=\frac{3}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，D错误。

10. 已知点$ A(1,2) $，点$ B(3,2) $，若向量$ a=(x^{2}+1,x^{2}-3x-4) $与$ \overrightarrow{AB} $相等，则实数$ x= $-1。

答案： 10.-1 依题得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(3,2)-(1,2)=(2,0)$，则$\begin{cases}x^{2}+1 = 2\\x^{2}-3x - 4 = 0\end{cases}$，得$x=-1$。

11. 向量$ p $在基底$ \{a,b\} $下的坐标为$ (1,2) $，则向量$ p $在基底$ \{a+b,a-b\} $下的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$。

答案： 11.$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$ 依题意，得$\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$ ①。当选择基底为$\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\}$时，不妨设$\boldsymbol{p}=x(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+y(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，则$\boldsymbol{p}=(x + y)·\boldsymbol{a}+(x - y)\boldsymbol{b}$ ②。将①式与②式对照，即得$\begin{cases}x + y = 1\\x - y = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}$，即向量$\boldsymbol{p}$在基底$\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\}$下的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$。

12. 如图，在平面直角坐标系$ xOy $中，四边形$ OABC $为平行四边形。$ OA=4 $，$ AB=3 $，$ \angle AOx=45^{\circ} $，$ \angle OAB=105^{\circ} $，则向量$ \overrightarrow{BA} $的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$，点$ B $的坐标为$(2\sqrt{2}-\frac{3}{2},2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})$。

答案：
12.$(\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$ $(2\sqrt{2}-\frac{3}{2},2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})$ 作$AM\perp x$轴于点$M$，如图，则$OM = OA·\cos 45^{\circ}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$AM = OA·\sin 45^{\circ}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，所以$A(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$。因为$\angle AOC = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle AOy = 45^{\circ}$，所以$\angle COy = 30^{\circ}$。又$OC = AB = 3$，易得$C(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$。$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(2\sqrt{2},2\sqrt{2})+(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})=(2\sqrt{2}-\frac{3}{2},2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})$，所以$B(2\sqrt{2}-\frac{3}{2},2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})$。

13. 在平面直角坐标系$ xOy $中，已知点$ A(1,-2) $，$ B(2,1) $，$ C(3,2) $。
(1)若点$ D(-2,3) $，记$ \overrightarrow{AB}=a $，$ \overrightarrow{AC}=b $，试用基底$ \{a,b\} $表示$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD} $；
(2)若$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\lambda \overrightarrow{AC}(\lambda \in \mathbf{R}) $，且点$ P $在第四象限，求$ \lambda $的取值范围。

答案： 13.解：
(1)由题意，得$\overrightarrow{AB}=(1,3)$，$\overrightarrow{AC}=(2,4)$，$\overrightarrow{AD}=(-3,5)$，$\overrightarrow{BD}=(-4,2)$，$\overrightarrow{CD}=(-5,1)$，所以$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8)$。由题意，知存在实数$m$，$n$，使得$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，即$(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m + 2n,3m + 4n)$，可得$\begin{cases}m + 2n = -12\\3m + 4n = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 32\\n = -22\end{cases}$，所以$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=32\overrightarrow{AB}-22\overrightarrow{AC}=32\boldsymbol{a}-22\boldsymbol{b}$。
(2)设$P(x,y)$，则$\overrightarrow{AP}=(x - 1,y + 2)$。又$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}=(1,3)+\lambda(2,4)=(1 + 2\lambda,3 + 4\lambda)$，则$\begin{cases}x - 1 = 1 + 2\lambda\\y + 2 = 3 + 4\lambda\end{cases}$，即$\begin{cases}x = 2 + 2\lambda\\y = 1 + 4\lambda\end{cases}$。又点$P$在第四象限，所以$\begin{cases}2 + 2\lambda\gt0\\1 + 4\lambda\lt0\end{cases}$，解得$-1\lt\lambda\lt-\frac{1}{4}$，故$\lambda$的取值范围是$(-1,-\frac{1}{4})$。
核心笔记
1.利用向量加、减运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(练习运用：第1题)。
2.解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此列方程(组)进行求解(练习运用：第10题)。
3.若点的坐标用三角函数表示，则向量的坐标也可以利用三角函数的定义和特殊角的三角函数值求解(练习运用：第12题)。