《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

9. (教材变式)在四边形$ABCD$中,下列判断正确的是 (AB)

A.若$O$为任意一点,且$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=0$,则四边形$ABCD$一定是平行四边形
B.若$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$,$\vert\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{AD}\vert$,$\angle ABD = 60^{\circ}$,则四边形$ABCD$一定是菱形
C.若$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$,$\vert\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\vert=\vert\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\vert$,则四边形$ABCD$一定是正方形
D.若$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$,$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$,且$\vert\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\vert$,则四边形$ABCD$是矩形

答案： 9. AB 对于A，由$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = 0$，得$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = 0$，即$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，可知$AB,CD$两边平行且相等，所以四边形$ABCD$是平行四边形，A正确.对于B，$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}$，即$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，所以四边形$ABCD$是平行四边形.因为$|\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AD}|$，$\angle ABD = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等边三角形，则$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$，所以四边形$ABCD$是菱形，B正确.对于C，由于$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$，所以四边形$ABCD$一定是平行四边形，又$|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}|$，得$|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AC}|$，所以平行四边形$ABCD$一定是矩形，C错误.对于D，由$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC},\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$，知$ABCD$是平行四边形，又$|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}|$，可得$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$，所以四边形$ABCD$是菱形，D错误.
教材链接 人教A版必修二习题6.2第13题改编

10. 已知点$P$,$A$,$B$,$C$满足$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$,其中点$A$,$B$,$C$不共线,则点$P$所在的位置是线段$AC$的中点处.

答案： 10. 线段$AC$的中点处 由$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$知$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC}$，即$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PC}$，故$A,P,C$三点共线，故$P$在线段$AC$的中点处.

11. 已知向量$a$,$b$满足$\vert a\vert = 1$,$\vert a - b\vert = \frac{1}{2}$,则$\vert b\vert$的取值范围为$\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$.

答案： 11. $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$ 因为$b = a - (a - b)$，所以$|b| = |a - (a - b)| \leq |a| + |a - b| = \frac{3}{2}$，当且仅当$a,a - b$反向时，等号成立；$|b| = |a - (a - b)| \geq ||a| - |a - b|| = \frac{1}{2}$，当且仅当$a,a - b$同向时，等号成立.所以$|b|$的取值范围为$\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$.

12. 已知向量$a$,$b$满足$\vert a\vert = \sqrt{7} + 1$,$\vert b\vert = \sqrt{7} - 1$,且$\vert a - b\vert = 4$,则$\vert a + b\vert$=4.

答案：
12. 4 如图所示，设$\overrightarrow{OA} = a,\overrightarrow{OB} = b$，则$|\overrightarrow{BA}| = |a - b|$.以$OA,OB$为邻边作平行四边形$OACB$，则$|\overrightarrow{OC}| = |a + b|$.由于$(\sqrt{7} + 1)^2 + (\sqrt{7} - 1)^2 = 4^2$，故$|\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{BA}|^2$，所以$\angle AOB = 90^{\circ}$，即平行四边形$OACB$是矩形.根据矩形的对角线相等得$|\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{BA}| = 4$，即$|a + b| = 4$.

13. 如图所示,在平行四边形$ABCD$中,$E$,$F$分别为边$AB$和$BC$的中点,$G$为$AC$与$BD$的交点.
(1)若$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\vert$,则四边形$ABCD$是什么特殊的平行四边形? 说明理由.
(2)化简$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{EB}$,并在图中作出表示该化简结果的向量.

答案：
13. 解：
(1)四边形$ABCD$是菱形.理由如下：由条件知$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{AD}|$，即$AB = AD$，又四边形$ABCD$是平行四边形，故四边形$ABCD$是菱形.
(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{EF}$，所以$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{GC} - \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} - (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF}) = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{FD}$，作出向量$\overrightarrow{FD}$，如图所示.

14. 设向量$a$,$b$满足$\vert a + b\vert = \vert a - b\vert = 2$,则以$\vert a\vert$,$\vert b\vert$,$\vert a - b\vert$为边长的三角形面积的最大值为 (A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
14. A 如图，设$\overrightarrow{OA} = a,\overrightarrow{OB} = b$，则$|a + b|,|a - b|$是平行四边形$OACB$的对角线长，依题意，$|a + b| = |a - b| = 2$，则$□ OACB$为矩形，所以以$|a|,|b|,|a - b|$为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为$|a - b| = 2$.设两直角边长为$m,n$，则$m^2 + n^2 = 4$，故三角形面积$S = \frac{1}{2}mn \leq \frac{1}{2} · \frac{m^2 + n^2}{2} = 1$，当且仅当$m = n = \sqrt{2}$时等号成立，则以$|a|,|b|,|a - b|$为边长的三角形面积的最大值为$1$.