《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. (教材变式) 化简：$(6 - 3i) + (3 + 2i) - (3 - 4i) - (-2 + i) =$ (A)

A.$8 + 2i$
B.$4 + 2i$
C.$-4 + 2i$
D.$4 - i$

答案： 1.A 原式=(6+3-3+2)+(-3+2+4-1)i=8+2i.
方法总结 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，即将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(实部、虚部分别计算).
教材链接 人教A版必修二7.2.1练习第1题改编

2. 已知在复平面内，$O$是原点，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$对应的复数分别为$3 - 5i$，$-2 + 4i$，那么向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数的虚部是 (D)

A.$9i$
B.$-i$
C.$-1$
D.$9$

答案： 2.D 因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-2+4i-(3-5i)=-5+9i,$所以向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数的虚部是9.
易错警示 设在复平面内，复数z₁,z₂对应的点分别为Z₁,Z₂,则复数z₁-z₂所对应的向量是$\overrightarrow{Z₂Z₁},$注意向量的起点与终点的顺序.

3. 若复数$z$满足$z + 2\overline{z} = 6 + 5i$，则$z$的共轭复数$\overline{z}$在复平面内对应的点位于 (A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 3.A 设z=a+bi(a,b∈R),则$\overline{z}=a-bi,$所以$z+2\overline{z}=a+bi+2(a-bi)=3a-bi.$又$z+2\overline{z}=6+5i,$所以$\begin{cases}3a=6,\\-b=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=-5,\end{cases}$则z=2-5i,所以$\overline{z}=2+5i,$所以$\overline{z}$在复平面内对应的点在第一象限.

4. 已知复数$z_1 = -2 + 3i$，$z_2 = 1 + 4i$，则 (A)

A.$|z_1 + z_2| ＞ |z_2| ＞ |z_1| ＞ |z_1 - z_2|$
B.$|z_1 + z_2| ＞ |z_1| ＞ |z_2| ＞ |z_1 - z_2|$
C.$|z_1 + z_2| ＞ |z_1| ＞ |z_2| ＞ |z_1 - z_2|$
D.$|z_1 + z_2| ＞ |z_1 - z_2| ＞ |z_2| ＞ |z_1|$

答案： 4.A 由题意得|z₁|$=\sqrt{13},$|z₂|$=\sqrt{17},$|z₁-z₂|=|-3-i|$=\sqrt{10},$|z₁+z₂|=|-1+7i|$=5\sqrt{2},$所以|z₁+z₂|＞|z₂|＞|z₁|＞|z₁-z₂|.

5. 四边形$ABCD$是复平面内的平行四边形，已知$A$，$B$，$C$三点对应的复数分别是$1 + 3i$，$-i$，$2 + i$，则向量$\overrightarrow{BD}$所对应的复数是 (D)

A.$1 - 2i$
B.$2 + 2i$
C.$2 - 2i$
D.$3 + 6i$

答案： 5.D 依题意得A(1,3),B(0,-1),C(2,1),则$\overrightarrow{BA}=(1,4),\overrightarrow{BC}=(2,2),$所以$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=(3,6),$其对应的复数为3+6i.

6. 若复数$z = m^2(1 + i) - m(4 + i) - 6i$在复平面上所对应的点在第二象限，则实数$m$的取值范围是 (C)

A.$(0, 3)$
B.$(-2, 0)$
C.$(3, 4)$
D.$(-\infty, -2)$

答案： 6.C z=m²(1+i)-m(4+i)-6i=(m²-4m)+(m²-m-6)i,由于复数对应的点在第二象限，所以$\begin{cases}m²-4m$＜0,\\m²-m-6＞$0,\end{cases}$解得3＜m＜4.

7. 已知$z_1$，$z_2$为复数，则下列说法正确的是 (AB)

A.若$z_1 = x + yi$(其中$x$，$y \in R$，$i$为虚数单位)，则$|z_1 - \overline{z_1}| = |2y|$
B.若复数$|z_1 + z_2| = 0$，则$z_1 = -z_2$
C.“$z_1 + z_2 \in R$”是“$z_1$与$z_2$互为共轭”的充要条件
D.若$|z_1 - z_2| = |z_1|$，则$z_1 = 0$或$z_2 = 2z_1$

答案： 7.AB 对于A,因为z₁=x+yi(x,y∈R),则$\overline{z₁}=x-yi,$|$z₁-\overline{z₁}$|=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,A正确;对于B,设z₁=a+bi,z₂=c+di,a,b,c,d∈R,则z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i,当|z₁+z₂|=0时$,\sqrt{(a+c)²+(b+d)²}=0,$则a=-c,c=-d,所以z₁=-z₂成立,B正确;对于C,取z₁=2+i,z₂=1-i,满足z₁+z₂∈R,充分性不成立,所以“z₁+z₂∈R”是“z₁与z₂互为共轭”的必要不充分条件,C错误;对于D,取$z₁=2,z₂=1+\sqrt{3}i,$则$z₁-z₂=1-\sqrt{3}i,$|z₁-z₂|=2=|z₁|,此时z₁≠0且z₂≠2z₁,故D错误.
方法总结 对于定性的选项，可以考虑举反例排除.

8. 在复平面内，复数$z_1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$对应的点为$A$，复数$z_2 = z_1 - 1$对应的点为$B$，下列说法正确的是 (ACD)

A.$|z_1 + \overline{z_2}| = 0$
B.向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数是$1$
C.$|\overrightarrow{AB}| = |z_1 - z_2|$
D.$\overrightarrow{AB} \perp (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$

答案： 8.ACD 因为$z₁=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,$所以$z₂=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,$所以$A(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}).$对于A,因为$\overline{z}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z₁+\overline{z₂}=0,$所以|$z₁+\overline{z₂}$|=0,A正确;对于B,由上可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-1,0),$对应的复数为-1,B错误;对于C,|z₁-z₂|=|$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$|=1,|$\overrightarrow{AB}$|=1,C正确;对于D,因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}= (0,-\sqrt{3}),\overrightarrow{AB}=(-1,0),$则$\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=(-1,0)·(0,-\sqrt{3})=0,$所以$\overrightarrow{AB}⊥(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}),D$正确.

9. 已知非零复数$z_1$，$z_2$对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，则下列说法正确的是 (AD)

A.若$z_1 - \overline{z_2} = 0$，则$|\overrightarrow{OZ_1}| = |\overrightarrow{OZ_2}|$
B.若$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$关于虚轴对称，则$z_1 + z_2$为纯虚数
C.若$(\overrightarrow{OZ_1} + \overrightarrow{OZ_2}) \perp (\overrightarrow{OZ_1} - \overrightarrow{OZ_2})$，则$z_1 = z_2$
D.若$|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|$，则$\overrightarrow{OZ_1} \perp \overrightarrow{OZ_2}$

答案： 9.AD 因为|z|=|$\overline{z}$|,所以A正确;若z₁=1,z₂=-1,满足$\overrightarrow{OZ₁},\overrightarrow{OZ₂}$关于虚轴对称,而z₁+z₂为0,故B错误;因为$(\overrightarrow{OZ₁}+\overrightarrow{OZ₂})⊥(\overrightarrow{OZ₁}-\overrightarrow{OZ₂}),$所以$(\overrightarrow{OZ₁}+\overrightarrow{OZ₂})·(\overrightarrow{OZ₁}-\overrightarrow{OZ₂})=0,$即$\overrightarrow{OZ₁}²=\overrightarrow{OZ₂}²,$则|z₁|=|z₂|,但不一定有z₁=z₂,故C错误;因为|z₁+z₂|=|z₁-z₂|,所以|$\overrightarrow{OZ₁}+\overrightarrow{OZ₂}$|=|$\overrightarrow{OZ₁}-\overrightarrow{OZ₂}$|,则|$\overrightarrow{OZ₁}+\overrightarrow{OZ₂}$|²=|$\overrightarrow{OZ₁}-\overrightarrow{OZ₂}$|²,即$\overrightarrow{OZ₁}·\overrightarrow{OZ₂}=0,$则$\overrightarrow{OZ₁}⊥\overrightarrow{OZ₂},$故D正确.