《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 已知平面向量$\boldsymbol{a}=(-2,3)$,$\boldsymbol{b}=(1,2)$,$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{BC}=\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,且$A$,$B$,$C$三点共线,则实数$\lambda =$ (B)

A.$-\frac{2}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$2$

答案： 1. B $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} = (-2,3) - 3(1,2) = (-5,-3)$, $\overrightarrow{BC} = \lambda\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \lambda(-2,3) + (1,2) = (-2\lambda + 1,3\lambda + 2)$. 因为$A$,$B$,$C$三点共线，所以$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{BC}$，则$-3 × (-2\lambda + 1) = -5 × (3\lambda + 2)$，解得$\lambda = -\frac{1}{3}$.

2. 已知点$A(-3,2)$,向量$\overrightarrow{AB}=(8,0)$,设线段$AB$的中点为$C$,则点$C$的坐标为 (A)

A.$(1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(6,-3)$
D.$(-3,4)$

答案： 2. A 设$O$为坐标原点，则$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OC}$，又$\overrightarrow{OA} = (-3,2)$，则由$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，即$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OA}$，得$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (-3,2) + \frac{1}{2}(8,0) = (-3 + 4,2) = (1,2)$.

3. (高频导向)已知两个不相等的向量$\boldsymbol{a}=(2,m + 1)$,$\boldsymbol{b}=(2 - 4m,1)$,$\boldsymbol{a}//(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$,则$m =$ (C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$0$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{4}$

答案： 3. C 因为向量$\boldsymbol{a} = (2,m + 1)$，$\boldsymbol{b} = (2 - 4m,1)$，所以$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (2 + 4m,2m + 1)$. 由$\boldsymbol{a} // (2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$得$2 × (2m + 1) - (m + 1)(2 + 4m) = 0$，即$m(1 + 2m) = 0$，解得$m = 0$或$m = -\frac{1}{2}$. 当$m = 0$时，$\boldsymbol{a} = (2,1)$，$\boldsymbol{b} = (2,1)$，此时$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$，不符合题意；当$m = -\frac{1}{2}$时，$\boldsymbol{a} = (2,\frac{1}{2})$，$\boldsymbol{b} = (4,1)$，此时$\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{b}$，符合题意.

4. (教材变式)已知点$A(3,1)$,$B(-6,5)$,且$C$为边$AB$上靠近点$B$的三等分点,则点$C$的坐标为 (B)

A.$(0,\frac{7}{3})$
B.$(-3,\frac{11}{3})$
C.$(-3,\frac{4}{3})$
D.$(-6,\frac{8}{3})$

答案： 4. B 由题意得$\overrightarrow{AB} = (-9,4)$，则$\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = (-6,\frac{8}{3})$，设坐标原点为$O$，所以$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = (-6 + 3,\frac{8}{3} + 1) = (-3,\frac{11}{3})$，即点$C$的坐标为$(-3,\frac{11}{3})$.
教材链接 人教A版必修二习题6.3第6题改编

5. (易错易混)已知点$O(0,0)$,向量$\overrightarrow{OA}=(2,3)$,$\overrightarrow{OB}=(6,-3)$,$P$是直线$AB$上一点,满足$AP = 2PB$,则点$P$的坐标是 (C)

A.$(\frac{14}{3},-1)$
B.$(\frac{10}{3},1)$
C.$(\frac{14}{3},-1)$或$(10,-9)$
D.$(\frac{10}{3},1)$或$(10,-9)$

答案： 5. C 依题意，若$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB}$，则$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP})$，得$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，而$\overrightarrow{OA} = (2,3)$，$\overrightarrow{OB} = (6,-3)$，因此$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}(2,3) + \frac{2}{3}(6,-3) = (\frac{14}{3},-1)$，即点$P$的坐标是$(\frac{14}{3},-1)$；若$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{BP}$，则$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = 2(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB})$，得$\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 2(6,-3) - (2,3) = (10,-9)$，则点$P$的坐标是$(10,-9)$. 综上，点$P$的坐标是$(\frac{14}{3},-1)$或$(10,-9)$.
易错警示 点$P$的位置有两种情形：在线段$AB$上和在线段$AB$的延长线上. 后者容易被忽视造成漏解.

6. 如图所示,已知$|\overrightarrow{OA}| = 2$,$|\overrightarrow{OB}| = 1$,$AB$的中点是$C$,则$\overrightarrow{OC}$的坐标为 (A)

A.$(\frac{2\sqrt{3}-1}{4},\frac{2+\sqrt{3}}{4})$
B.$(\frac{1 - 2\sqrt{3}}{4},\frac{2+\sqrt{3}}{4})$
C.$(\frac{2\sqrt{3}-1}{4},-\frac{2+\sqrt{3}}{4})$
D.$(\frac{1 - 2\sqrt{3}}{4},-\frac{2+\sqrt{3}}{4})$

答案： 6. A 由题意知点$A$的坐标为$(2\cos 30^{\circ},2\sin 30^{\circ})$，点$B$的坐标为$(\cos 120^{\circ},\sin 120^{\circ})$，所以$A(\sqrt{3},1)$，$B(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. 因为点$C$为$AB$的中点，所以$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2}(\sqrt{3} - \frac{1}{2},1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{2\sqrt{3} - 1}{4},\frac{2 + \sqrt{3}}{4})$.

7. 已知向量$\overrightarrow{OA}=(-3,1)$,$\overrightarrow{OB}=(1,-2)$,$\overrightarrow{OC}=(x - 6,x + 5)$,若点$A$,$B$,$C$能构成三角形,则$x$的值可以为 (ACD)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 7. ACD 由题意，$\overrightarrow{AB} = (4,-3)$，$\overrightarrow{BC} = (x - 7,x + 7)$. 若$A$,$B$,$C$三点共线，即$4(x + 7) + 3(x - 7) = 0$，解得$x = -1$，则点$A$,$B$,$C$不能构成三角形，所以$x$的值不可以为$-1$.

8. 已知向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,则下列说法正确的是 (ACD)

A.$\boldsymbol{a}=(1,3)$,$\boldsymbol{b}=(-3,1)$能作为平面内的基底
B.若$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$,$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$,且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线,则$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$
C.若$\boldsymbol{a}=(-1,2)$,$\boldsymbol{b}=(2,-4)$,则存在实数$\lambda$,$\mu$,使得$\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}=(1,-2)$
D.若$\boldsymbol{a}=(x,1)$,$\boldsymbol{b}=(4,x)$,则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的一个充分条件是$x = 2$

答案： 8. ACD 对于$A$，若$\boldsymbol{a} = (1,3)$，$\boldsymbol{b} = (-3,1)$，则$1 × 1 \neq 3 × (-3)$，所以$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，故$\boldsymbol{a} = (1,3)$，$\boldsymbol{b} = (-3,1)$能作为平面内的基底，故$A$正确；对于$B$，当$x_2 = 0$或$y_2 = 0$时，比例式无意义，但$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$仍可能共线，故$B$错误；对于$C$，假设存在，依题意，得$\lambda(-1,2) + \mu(2,-4) = (1,-2)$，则$\begin{cases}- \lambda + 2\mu = 1,\\2\lambda - 4\mu = -2,\end{cases}$此方程组有无数个解，所以存在实数$\lambda$，$\mu$，使得$\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b} = (1,-2)$，所以$C$正确；对于$D$，$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} \Leftrightarrow x^2 = 4$，即$x = \pm 2$，显然$\{( -2,9)\}$的子集，所以$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$的一个充分条件是$x = 2$，故$D$正确.
方法总结 已知$\boldsymbol{a} = (x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b} = (x_2,y_2)$，则$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$的充要条件是$x_1y_2 = x_2y_1$.