《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 如图,在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$E$为$AB$的中点,则下列条件中,能使直线$EF//$平面$ACD_{1}$的有 (ACD)

A.$F$为$AA_{1}$的中点
B.$F$为$BB_{1}$的中点
C.$F$为$CC_{1}$的中点
D.$F$为$A_{1}D_{1}$的中点

答案：
8. ACD 如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC₁，C₁D₁，D₁A₁，A₁A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面.因为EM//AC，AC⊂平面ACD，EM⊄平面ACD，所以EM//平面ACD.同理可得EJ//平面ACD.而EM，EJ是平面EMGHIJ内的相交直线，则平面EMGHIJ//平面ACD，所以要使EF//平面ACD，则F∈平面MGHIJE，观察各选项，A，C，D满足.
　　　　　　　
方法总结：“以静制动”法：借助于面面平行找线面平行.

9. 在四棱锥$P - ABCD$中,$E,F$分别是$AP,BC$上的点,$\frac{AE}{EP} = \frac{BF}{FC}$,则下列条件可以确定$EF//$平面$PCD$的是 (BD)

A.$AD// BC$
B.$AB// CD$
C.$BC//$平面$PAD$
D.$CD//$平面$PAB$

答案：
9. BD 如图1，过点E作EG//PD交AD于点G，连接GF，易得EG//平面PCD.由△AEG∽△APD，得AG/GD = AE/EP = BF/FC.若AB//CD，则GF//CD.又GF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以GF//平面PCD.由EG∩GF = G，EG，GF⊂平面EGF，得平面EGF//平面PCD.又EF⊂平面EGF，所以EF//平面PCD，故B正确.
　　 　　
若CD//平面PAB，因为平面ABCD∩平面PAB = AB，CD⊂平面ABCD，所以CD//AB，CD⊂平面ABCD，由B可知D正确.假设EF//平面PCD，设平面EFP∩CD = H，连接FH，PH，则平面PCD∩平面EFP = PH，所以EF//PH.若BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD = AD，所以BC//AD；反之，若BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，则BC//平面PAD，即A，C同时正确或错误.若BC//AD，可能AB//CD，也可能AB与CD相交.如图2，若AB与CD相交，由AG/GD = BF/FC知延长FG必与AB，CD交于同一点O，由几何关系知EF与PH不平行，故A，C错误.

10. 如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形$EFGH$为截面,则四边形$EFGH$的形状为平行四边形.

答案： 10. 平行四边形 因为平面ABFE//平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE = EF，平面EFGH∩平面CDHG = HG，所以EF//HG.同理EH//FG，所以四边形EFGH的形状是平行四边形.

11. 如图,已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为$3$,点$E$在$A_{1}B_{1}$上,且$B_{1}E = 1$,平面$\alpha //$平面$BC_{1}E$,若平面$\alpha \cap$平面$AA_{1}B_{1}B = A_{1}F$,则$AF$的长为1.

答案： 11. 1 因为平面α//平面BCE，平面α∩平面AA₁B₁B = A₁F，平面BCE∩平面AA₁B₁B = BE，由面面平行的性质可得A₁F//BE，A₁E//BF，所以四边形A₁FBE为平行四边形，所以Rt△A₁AF≌Rt△BB₁E，所以AF = B₁E = 1.

12. 如图所示,过三棱台上底面的一边$A_{1}C_{1}$作一个平行于棱$BB_{1}$的截面,与下底面的交线为$DE$. 若$D,E$分别是$AB,BC$的中点,则$\frac{V_{A_{1}B_{1}C_{1}-DBE}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}-ABC}} =$3/7.

答案： 12. 3/7 由题知BB₁//平面A₁C₁ED，平面BCC₁B₁∩平面A₁C₁ED = CE，平面ABB₁A₁∩平面A₁C₁ED = A₁D，所以BB₁//CE，BB₁//A₁D.因为平面A₁B₁C₁//平面ABC，平面A₁B₁C₁∩平面A₁C₁ED = A₁C₁，平面ABC∩平面A₁C₁ED = DE，所以A₁C₁//DE.故几何体A₁B₁C₁ - DBE为三棱柱.设三棱柱的高为h，故$V_{A₁B₁C₁ - DBE}=S_{△BDE}·h.$又D，E分别是AB，BC的中点，则$S_{△ABC}=4S_{△BDE}=4S_{△A₁B₁C₁}，$由台体体积公式得$V_{A₁B₁C₁ - ABC}=1/3(S_{△A₁B₁C₁}+S_{△ABC}+√{S_{△A₁B₁C₁}·S_{△ABC}})h = 7/3S_{△ABC}·h，$故$V_{A₁B₁C₁ - DBE}/V_{A₁B₁C₁ - ABC}=3/7.$

13. 由四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$截去三棱锥$C_{1} - B_{1}CD_{1}$后得到的几何体如图所示,四边形$ABCD$为平行四边形,$O$为$AC$与$BD$的交点.
(1)求证:$A_{1}O//$平面$B_{1}CD_{1}$;
(2)求证:平面$A_{1}BD//$平面$B_{1}CD_{1}$;
(3)设平面$B_{1}CD_{1}$与底面$ABCD$的交线为$l$,求证:$BD// l$.

答案：
13. 证明：
(1)如图，取B₁D₁的中点O₁，连接CO₁，A₁O₁.因为ABCD - A₁B₁C₁D₁是四棱柱，所以A₁O₁//OC且A₁O₁ = OC，所以四边形A₁O₁CO为平行四边形，所以A₁O//O₁C.又O₁C⊂平面B₁CD₁，A₁O⊄平面B₁CD₁，所以A₁O//平面B₁CD₁.
　　　　　　　　
(2)因为BB₁//AA₁//DD₁，且BB₁ = AA₁ = DD₁，所以四边形BB₁D₁D是平行四边形，则BD//B₁D₁.又BD⊄平面B₁CD₁，B₁D₁⊂平面B₁CD₁，所以BD//平面B₁CD₁.由
(1)得A₁O//平面B₁CD₁，且BD∩A₁O = O，BD，A₁O⊂平面A₁BD，所以平面A₁BD//平面B₁CD₁.
(3)由
(2)得BD//平面B₁CD₁，又BD⊂平面ABCD，平面B₁CD₁∩平面ABCD = l，所以BD//l.