《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. [2024新高考Ⅰ卷，3]已知向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,x)$，若$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$，则$x=$(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 1. D 因为$b \perp (b - 4a)$，所以$b · (b - 4a) = 0$，则$b^2 - 4a · b = 0$，即$4 + x^2 - 4x = 0$，解得$x = 2$。

2. [2024新高考Ⅱ卷，3]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=2$，且$(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{b}|=$(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案： 2. B 因为$(b - 2a) \perp b$，所以$(b - 2a) · b = 0$，即$b^2 = 2a · b$。又因为$\vert a\vert = 1$，$\vert a + 2b\vert = 2$，所以$1 + 4a · b + 4b^2 = 1 + 6b^2 = 4$，从而$\vert b\vert = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. [2024全国甲卷理，9]已知向量$\boldsymbol{a}=(x + 1,x)$，$\boldsymbol{b}=(x,2)$，则(C)

A.“$x = - 3$”是“$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$”的必要条件
B.“$x = - 3$”是“$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$”的必要条件
C.“$x = 0$”是“$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$”的充分条件
D.“$x = - 1+\sqrt{3}$”是“$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$”的充分条件

答案： 3. C 对于A，当$a \perp b$时，$a · b = 0$，所以$x(x + 1) + 2x = 0$，解得$x = 0$或$-3$，即必要性不成立，故A错误；对于B，当$a // b$时，$2(x + 1) = x^2$，解得$x = 1 \pm \sqrt{3}$，即必要性不成立，故B错误；对于C，当$x = 0$时，$a = (1,0)$，$b = (0,2)$，故$a · b = 0$，所以$a \perp b$，即充分性成立，故C正确；对于D，当$x = -1 + \sqrt{3}$时，不满足$2(x + 1) = x^2$，所以$a // b$不成立，即充分性不成立，故D错误。

4. [2024全国甲卷理，11]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$B=\frac{\pi}{3}$，$b^{2}=\frac{9}{4}ac$，则$\sin A+\sin C=$(C)

A.$\frac{3}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 4. C 因为$B = \frac{\pi}{3}$，$b^2 = \frac{9}{4}ac$，所以由正弦定理得$\sin A\sin C = \frac{4}{9}\sin^2 B = \frac{1}{3}$。由余弦定理可得$b^2 = a^2 + c^2 - ac = \frac{9}{4}ac$，即$a^2 + c^2 = \frac{13}{4}ac$。根据正弦定理得$\sin^2 A + \sin^2 C = \frac{13}{4}\sin A\sin C = \frac{13}{12}$，所以$(\sin A + \sin C)^2 = \sin^2 A + \sin^2 C + 2\sin A\sin C = \frac{7}{4}$。因为A，C为三角形内角，所以$\sin A + \sin C ＞ 0$，故$\sin A + \sin C = \frac{\sqrt{7}}{2}$。

5. [2023新高考Ⅱ卷，13]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，则$|\boldsymbol{b}|=$$\sqrt{3}$.

答案： 5. $\sqrt{3}$ 由$\vert a + b\vert = \vert 2a - b\vert$，得$(a + b)^2 = (2a - b)^2$，即$a^2 + 2a · b + b^2 = 4a^2 - 4a · b + b^2$，整理得$a^2 - 2a · b = 0$。又$\vert a - b\vert = \sqrt{3}$，即$(a - b)^2 = 3$，得$a^2 - 2a · b + b^2 = b^2 = 3$，所以$\vert b\vert = \sqrt{3}$。

6. [2023全国甲卷理，16]在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$AB = 2$，$BC=\sqrt{6}$，$\angle BAC$的平分线交边$BC$于点$D$，则$AD=$2.

答案： 6. 2 记$AB = c$，$AC = b$，$BC = a$，在$\triangle ABC$中，由余弦定理可得$2^2 + b^2 - 2 × 2 × b × \cos 60° = 6$，即$b^2 - 2b - 2 = 0$。由$b ＞ 0$，解得$b = 1 + \sqrt{3}$。由$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$，可得$\frac{1}{2} × 2 × b\sin 60° = \frac{1}{2} × 2 × AD × \sin 30° + \frac{1}{2} × AD × b × \sin 30°$，解得$AD = \frac{2\sqrt{3}b}{2 + b} = \frac{2\sqrt{3} × (1 + \sqrt{3})}{3 + \sqrt{3}} = 2$。