《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

10. 已知$z_1 + z_2 = 2 - 3i$，$z_1 - 2z_2 = -1 + 3i$，则$|z_1 - z_2| =$1.

答案： 10.1 解法1 由z₁+z₂=2-3i,z₁-z₂=-1+3i,得z₂=1-2i,代入z₁+z₂=2-3i得z₁=1-i,所以z₁-z₂=i,所以|z₁-z₂|=1.
解法2 设z₁=a+bi,z₂=c+di(a,b,c,d∈R),依题意得(a+c)+(b+d)i=2-3i,(a-2c)+(b-2d)i=-1+3i,则$\begin{cases}a+c=2,\\a-2c=-1\end{cases}$且$\begin{cases}b+d=-3,\\b-2d=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\c=1\end{cases}$且$\begin{cases}b=-1,\\d=-2,\end{cases}$所以z₁=1-i,z₂=1-2i,则z₁-z₂=i,所以|z₁-z₂|=1.

11. 已知$a$，$b \in R$，复数$z_1 = a + i$，$z_2 = -b - i$，且$z_1 + z_2 = 0$. 若$z = a + bi$，则$|z - \sqrt{3}i|$的最小值为\frac{\sqrt{6}}{2}.

答案： $11.\frac{\sqrt{6}}{2} $由z₁+z₂=0可得a+i+(-b-i)=0,即a=b.因此|$z-\sqrt{3}i$|=|$a+bi-\sqrt{3}i$|$=\sqrt{a²+(b-\sqrt{3})²}=\sqrt{2(a-\frac{\sqrt{3}}{2})²+\frac{3}{2}}≥\frac{\sqrt{6}}{2},$当$a=b=\frac{\sqrt{3}}{2}$时,|$z-\sqrt{3}i$|取得最小值$\frac{\sqrt{6}}{2}.$

12. 已知在复平面内的平行四边形$ABCD$中，点$A$对应的复数为$2 + i$，向量$\overrightarrow{BA}$对应的复数为$1 + 2i$，向量$\overrightarrow{BC}$对应的复数为$3 - i$，则点$D$对应的复数为5，平行四边形$ABCD$的面积为7.

答案： 12.5 7 因为$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC},$所以向量$\overrightarrow{AD}$对应的复数为3-i,即$\overrightarrow{AD}=(3,-1).$设D(x,y),则$\overrightarrow{AD}=(x-2,y-1)=(3,-1),$所以$\begin{cases}x-2=3,\\y-1=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=0.\end{cases}$所以点D对应的复数为5.因为$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=$|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|cosB,所以$cosB=\frac{\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{3-2}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.$因为0＜B＜π,所以$sinB=\frac{7\sqrt{2}}{10},$则$S_{四边形ABCD}=$|$\overrightarrow{BA}$|·|$\overrightarrow{BC}$|$sinB=\sqrt{5}×\sqrt{10}×\frac{7\sqrt{2}}{10}=7,$所以平行四边形ABCD的面积为7.

13. (变式探究) 已知复数$z = \sqrt{3}a + ai$，$\omega = xi$（$a$，$x \in R$且$a \neq 0$，$x \neq 0$），且$|z - \overline{z}| = |z - \omega|$.
(1) 求$\frac{x}{a}$的值；
(2) 求证：$|\omega| = |\overline{z}|$；
(3) 设$z$，$\omega$在复平面内对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ}$，$\overrightarrow{OW}$，若$\overrightarrow{OZ} · \overrightarrow{OW} = 12$，求$a$的值.

答案： 13.
(1)解：由$z=\sqrt{3}a+ai,$得$\overline{z}=\sqrt{3}a-ai,$则$z-\overline{z}=2ai,$故|$z-\overline{z}$|=2|a|.
又$z-ω=\sqrt{3}a+(a-x)i,$则|z-ω|$=\sqrt{(\sqrt{3}a)²+(a-x)²}=\sqrt{4a²-2ax+x²},$
所以$\sqrt{4a²-2ax+x²}=2$|a|,化简可得x²=2ax.
又x≠0,所以$x=\frac{x²}{a}=2a.$
(2)证明：由
(1)得ω=2ai,所以|ω|=2|a|.
又|z|$=\sqrt{(\sqrt{3}a)²+(-a)²}=2$|a|,所以|ω|=|$\overline{z}$|.
(3)解：z在复平面内对应的向量为$\overrightarrow{OZ}=(\sqrt{3}a,a),ω$在复平面内对应的向量为$\overrightarrow{OW}=(0,2a),$
所以$\overrightarrow{OZ}·\overrightarrow{OW}=\sqrt{3}a×0+2a²=2a²,$
故2a²=12,解得$a=±\sqrt{6}.$

14. 若$\triangle ABC$的三个顶点所对应的复数分别为$z_1$，$z_2$，$z_3$，复数$z$满足$|z - z_1| = |z - z_2| = |z - z_3|$，则在复平面内复数$z$对应的点是$\triangle ABC$的 (A)

A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心

答案： 14.A 由复数的模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z对应的点到△ABC的顶点A,B,C距离相等,所以复数z对应的点为△ABC的外心.