《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. (易错易混) 在$\triangle ABC$中,$B=\frac {π}{4},AB=\sqrt {2}BC=2$,则$\overrightarrow {AB}· \overrightarrow {BC}=$(C)

A.2
B.$-\sqrt {2}$
C.-2
D.$\sqrt {2}$

答案： 1. C 依题意$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos(\pi - B)=2 × \sqrt{2} × \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)= -2$。
易错警示 求两个向量的夹角，一定要将两个向量平移到同一起点。

2. 已知$|a|=2,|b|=4$且$(a+b)⊥a$,则向量$a$与$b$的夹角是(A)

A.$\frac {2π}{3}$
B.$\frac {π}{3}$
C.$-\frac {π}{3}$
D.$-\frac {2π}{3}$

答案： 2. A 因为$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 4$且$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}$，所以$(\boldsymbol{a} \boldsymbol{+} \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}^2 + \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = 4 + 8\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = 0$，即$\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = -\frac{1}{2}$。因为$0 \leq \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \leq \pi$，所以$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = \frac{2\pi}{3}$，即向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是$\frac{2\pi}{3}$。

3. 已知单位向量$a,b$的夹角为$\frac {π}{4}$,且$(\sqrt {2}a+kb)⊥a$,则实数$k=$(D)

A.$\frac {1}{2}$
B.$-\frac {\sqrt {2}}{2}$
C.$-\sqrt {2}$
D.-2

答案： 3. D 因为单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{4}$，$(\sqrt{2}\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}$，所以$(\sqrt{2}\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}) · \boldsymbol{a} = \sqrt{2}\boldsymbol{a}^2 + k\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0$，即$\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}k = 0$，解得$k = -2$。

4. (教材变式) 已知向量$a,b$满足$|a|=1,|b|=2$,且$a⊥(a+b)$.若向量$c=a+2b$,则$|c|=$(D)

A.$\sqrt {17}$
B.17
C.13
D.$\sqrt {13}$

答案： 4. D 因为$\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$，所以$\boldsymbol{a} · (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = 0$，即$\boldsymbol{a}^2 + \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0$。又$|\boldsymbol{a}| = 1$，所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -1$，所以$|\boldsymbol{c}|^2 = (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b})^2 = \boldsymbol{a}^2 + 4\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + 4\boldsymbol{b}^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + 4\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + 4|\boldsymbol{b}|^2 = 1 + 4 × (-1) + 4 × 4 = 13$，故$|\boldsymbol{c}| = \sqrt{13}$。
教材链接 人教A版必修二习题6.2第11题改编

5. 在梯形$ABCD$中,$AB// CD,AB=4,AD=2,CD=1,∠DAB=60^{\circ }$,则$\overrightarrow {AC}· \overrightarrow {AB}=$(C)

A.4
B.6
C.8
D.12

答案：
5. C 由题可知$\overrightarrow{DC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$。又因$\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AB} = 2 × 4\cos 60^{\circ} = 4$，所以$\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}) · \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2 = 4 + \frac{1}{4} × 16 = 8$。
　　　　　

6. 在$\triangle ABC$中,若$\overrightarrow {AB}· \overrightarrow {AC}=\frac {1}{2}|\overrightarrow {AB}||\overrightarrow {AC}|,(\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC})· (\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})=0$,则$\triangle ABC$为(C)

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

答案： 6. C 由$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| · \cos A = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$，可得$A = \frac{\pi}{3}$，再由$(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) · (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB}^2 - \overrightarrow{AC}^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{AC}|^2 = 0$，可得$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$。综上，$\triangle ABC$为等边三角形。

7. 若单位向量$a,b$满足$|a+b|=\sqrt {3}$,则(BCD)

A.$a· b=1$
B.$a$与$b$的夹角为$\frac {π}{3}$
C.$a⊥(a-2b)$
D.$a-b$在$b$上的投影向量的模为$-\frac {1}{2}$

答案： 7. BCD 依题意$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，且$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{3}$。对于A，由$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2 = \boldsymbol{a}^2 + \boldsymbol{b}^2 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 1 + 1 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 3$，得$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \frac{1}{2}$，故A错误；对于B，$\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{1}{2}$，又$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \in [0, \pi]$，所以$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = \frac{\pi}{3}$，故B正确；对于C，由$\boldsymbol{a} · (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 1 - 1 = 0$，知$\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b})$，故C正确；对于D，由$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b}^2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$，所以$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量的模为$\frac{(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = -\frac{1}{2}$，故D正确。

8. (易错易混) 设平面向量$a,b,c$均为非零向量,则下列命题正确的是(BC)

A.若$a· c=b· c$,则$a=b$
B.若$a// b$,则$(a· b)^{2}=a^{2}· b^{2}$
C.若$a· c=b· c=0$,则$a// b$
D.若$(a+b)⊥(a-b)$,则$a=\pm b$

答案： 8. BC 由$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c}$得$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{c} = 0$，因为$\boldsymbol{c} \neq \boldsymbol{0}$，所以$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$或$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{c}$，故A错误；由$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$得$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = 0$或$\pi$，此时$(\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b})^2 = (|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|)^2\cos^2\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = \boldsymbol{a}^2 · \boldsymbol{b}^2$，故B正确；因为$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} = 0$，所以$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$且$\boldsymbol{b} \perp \boldsymbol{c}$，因为$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$均为非零的平面向量，所以$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$，故C正确；由$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 0$，得$\boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{b}^2 = 0$，即$\boldsymbol{a}^2 = \boldsymbol{b}^2$，所以$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，而$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$不能推出$\boldsymbol{a} = \pm \boldsymbol{b}$，故D错误。
易错警示 向量的数量积运算不满足消去律和结合律。

9. 在等腰三角形$ABC$中,$A=120^{\circ },\overrightarrow {BC}=a,\overrightarrow {AC}=b,\overrightarrow {AB}=c$,下列说法正确的是(AD)

A.$a· b=\frac {\sqrt {3}}{2}|a||b|$
B.$a· b=a· c$
C.$a$在$c$上的投影向量是$\frac {3}{2}c$
D.$b$在$a$上的投影向量与$c$在$a$上的投影向量是相反向量

答案：
9. AD 对于A，在等腰三角形ABC中，$A = 120^{\circ}$，所以$B = C = 30^{\circ}$，所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos C = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$，故A正确；对于B，因为$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| ＞ 0$，又$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle = 150^{\circ}$，所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\boldsymbol{a}| · |\boldsymbol{c}| ＜ 0$，所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c}$，故B错误；对于C，因为$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle = 150^{\circ}$，$2|\boldsymbol{c}|\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}|\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{a}|$，所以$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{c}$上的投影向量是$|\boldsymbol{a}|\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle · \frac{\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|} = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\boldsymbol{a}| · \frac{\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|} = -\frac{3}{2}\boldsymbol{c}$，故C错误；对于D，因为$\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = 30^{\circ}$，$2|\boldsymbol{b}|\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}|\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}|$，$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量是$|\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle · \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{\sqrt{3}}{2}|\boldsymbol{b}| · \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量是$|\boldsymbol{c}|\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}\rangle · \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\boldsymbol{c}| · \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，故D正确。