《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. [2025新高考Ⅱ卷,2]已知复数$z = 1 + i$，则$\frac{1}{z - 1}=$(A)

A.$-i$
B.$i$
C.$-1$
D.$1$

答案： 1. A $\frac {1}{i-1}=\frac {1}{1+i-1}=\frac {1}{i}=-i$.

2. [2024新高考Ⅱ卷,1]已知$z = -1 - i$，则$\vert z\vert=$(C)

A.$0$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$

答案： 2. C 由$z = -1 - i$,得$\vert z\vert = \sqrt {(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt {2}$.

3. [2024全国甲卷理,1]设$z = 5 + i$，则$i(\overline{z} + z)=$(A)

A.$10i$
B.$2i$
C.$10$
D.$-2$

答案： 3. A 由$z = 5 + i$,得$\overline {z} = 5 - i$,$z + \overline {z} = 10$,则$i(z + \overline {z}) = 10i$.

4. [2024新高考Ⅰ卷,2]若$\frac{z}{z - 1}=1 + i$，则$z=$(C)

A.$-1 - i$
B.$-1 + i$
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案： 4. C 因为$\frac {z}{z - 1} = \frac {z - 1 + 1}{z - 1} = 1 + \frac {1}{z - 1} = 1 + i$,所以$z = 1 + \frac {1}{i} = 1 - i$.

5. [2023新高考卷Ⅰ卷,2]已知$z=\frac{1 - i}{2 + 2i}$，则$z - \overline{z}=$(A)

A.$-i$
B.$i$
C.$0$
D.$1$

答案： 5. A 因为$z = \frac {1 - i}{2 + 2i} = \frac {(1 - i)(1 - i)}{2(1 + i)(1 - i)} = \frac {-2i}{4} = -\frac {1}{2}i$,所以$\overline {z} = \frac {1}{2}i$,则$z - \overline {z} = -i$.

6. [2023全国乙卷理,1]设$z=\frac{2 + i}{1 + i^{2}} + i^{5}$，则$\overline{z}=$(B)

A.$1 - 2i$
B.$1 + 2i$
C.$2 - i$
D.$2 + i$

答案： 6. B 由题意可得$z = \frac {2 + i}{1 + i^2 + i^5} = \frac {2 + i}{1 - 1 + i} = \frac {i(2 + i)}{i^2} = \frac {2i - 1}{-1} = 1 - 2i$,则$\overline {z} = 1 + 2i$.