《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是(BD)

A.若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B.若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线
C.若a//b，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线
D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线

答案： 8. BD 若a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行、相交或异面，故A错误；若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线，否则，若AC与BD共面，则AB与CD共面，与已知矛盾，故B正确；若a//b，b与c是异面直线，则a与c相交或异面，故C错误；若a，b不同在任何一个平面内，由异面直线的定义可得，a与b是异面直线，故D正确。

9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，线段所在直线是异面直线是(BCD)

A.直线EF和直线CD
B.直线AB和直线HG
C.直线EF和直线HG
D.直线AB和直线CD

答案：
9. BCD 还原为正方形，如下图：

A选项，直线EF和直线CD平行，不是异面直线，A错误；B选项，直线AB和直线HG是异面直线，B正确；C选项，直线EF和直线HG是异面直线，C正确；D选项，直线AB和直线CD是异面直线，D正确。

10. 如果一条直线上有一个点不在平面上，那么这条直线与这个平面的公共点最多有1个.

答案： 10. 1 如果有两个，那么直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

11. 在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的12条棱所在的直线及直线BD，A₁C₁，B₁D₁中，与直线AC是异面直线的直线共有7条.

答案：
11. 7 如图，与直线AC是异面直线的直线有BB₁，DD₁，A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁，D₁A₁，B₁D₁，共7条。

12. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为B'C'，A'D'的中点，则平面ABB'A'与平面CDFE的位置关系是相交.

答案： 12. 相交 在正方体ABCD - A'B'C'D'中，E为B'C'的中点，所以EC与BB'不平行，则延长CE与BB'必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B'B，又BB'⊂平面ABB'A'，CE⊂平面CDFE，所以H∈平面ABB'A'，H∈平面CDFE，故平面ABB'A'与平面CDFE相交。

13. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁B₁和BB₁的中点，试判断：
（1）AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；
（2）CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
（3）AM所在的直线与平面CDD₁C₁的位置关系；
（4）平面ABCD与平面CDD₁C₁的位置关系.

答案： 13. 解：
(1)因为AM⊂平面ABB₁A₁，N∈平面ABB₁A₁，C∉平面ABB₁A₁，且N∉直线AM，所以直线AM与CN为异面直线。
(2)因为C∈平面ABCD，且N∉平面ABCD，所以CN与平面ABCD相交于点C，即直线CN∩平面ABCD = C，即直线CN与平面ABCD相交。
(3)在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，平面ABB₁A₁//平面CDD₁C₁，因为AM⊂平面ABB₁A₁，所以AM//平面CDD₁C₁。
(4)在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∩平面CDD₁C₁ = CD，即两平面相交。

14. [多选题]已知O，A与B，C分别是异面直线a与b上的不同点，E，F，G，H分别是线段OA，OB，BC，CA上的点，则下列说法正确的是(BCD)

A.直线OB与直线AC可以相交，不可以平行
B.直线EH与直线BC可以异面，不可以平行
C.直线EG与直线FH可以垂直，可以相交
D.直线EF与直线GH可以异面，可以相交

答案：
14. BCD 对于A，若直线OB与直线AC相交，则O，B，A，C四点共面，则直线a与b共面，与题目条件直线a与b异面矛盾，故直线OB与直线AC不可以相交，A错误；

对于B，当E，H分别和O，A重合时，直线EH与直线BC异面，直线EH与直线BC不可以平行，假如直线EH与直线BC平行，EH⊂平面OAH，BC⊄平面OAH，故BC//平面OAH，但BC与平面OAH有交点C，显然这是不可能的，假设不成立，B正确；
对于C，当E，F均与O重合时，此时直线EG与直线FH相交，当调整E，G的位置，可能有EG⊥OA，且令F，H分别与O，A重合，此时满足直线EG与直线FH垂直，故直线EG与直线FH可以垂直，可以相交，C正确；
对于D，当E，H均与A重合，或G，F均与B重合时，直线EF与直线GH相交，当$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}$时，EF与AB平行，当$\frac{CG}{CB}=\frac{CH}{CA}$时，GH与AB平行，此时EF与GH平行，其他情况，直线EF与直线GH异面。



故直线EF与直线GH可以异面，可以相交，D正确。