《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 对于直线 m,n 和平面α,β,能推出$α⊥β$的是 (C)

A.$m⊥n,m// α,n// β$
B.$m⊥n,α\cap β=m,n\subset α$
C.$m// n,n⊥β,m\subset α$
D.$m// n,m⊥α,n⊥β$

答案： 1.C A中，$\alpha$与$\beta$可能平行、可能相交；B中，$\alpha$与$\beta$相交，但不一定垂直；C中，由$m// n$，$n\perp \beta$，得$m\perp \beta$，又$m\subset \alpha$，所以$\alpha \perp \beta$；D中，$\alpha$与$\beta$平行.

2. (教材变式)如图,在四棱锥$P - ABCD$中,已知$PA⊥$底面$ABCD$,且底面$ABCD$为矩形,则下列结论错误的是 (C)


A.平面$PAB⊥$平面$PAD$
B.平面$PAB⊥$平面$PBC$
C.平面$PBC⊥$平面$PCD$
D.平面$PCD⊥$平面$PAD$

答案： 2.C 由$PA\perp$底面$ABCD$，可得$PA\perp AD$，$PA\perp CD$，又底面$ABCD$为矩形，所以$AD\perp AB$，$CD\perp AD$.又$AB\cap PA = A$，$AD\cap PA = A$，所以$AD\perp$平面$PAB$，$CD\perp$平面$PAD$.所以平面$PAD\perp$平面$PAB$，平面$PCD\perp$平面$PAD$.又$BC// AD$，所以$BC\perp$平面$PAB$，则平面$PBC\perp$平面$PAB$，故选项A，B，D正确，C错误.
方法总结 判定面面垂直常用的方法：在其中一面内找到一条直线同时垂直另一面两条相交的直线即可.简记为线线垂直$\Rightarrow$面面垂直.
教材链接 人教A版必修二习题8.6第7题改编

3. 在三棱锥$S - ABC$中,三个侧面与底面$ABC$所成的角均相等,顶点$S$在$△ABC$内的射影为$O$,则$O$是$△ABC$的 (C)

A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心

答案：
3.C 如图，分别作三个侧面三角形的斜高$SD$，$SE$，$SF$.因为$SO\perp$底面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$SO\perp BC$.又$SD\perp BC$，$SO\cap SD = S$，$SO,SD\subset$平面$SOD$，则$BC\perp$平面$SDO$.由$OD\subset$平面$SDO$，得$OD\perp BC$.同理可得$OE\perp AC$，$OF\perp AB$，则$\angle SDO$，$\angle SEO$，$\angle SFO$分别是三侧面与底面所成角的平面角，则有$\angle SDO = \angle SEO = \angle SFO$.由$\tan\angle SDO=\frac{OS}{OD}$，$\tan\angle SEO=\frac{OS}{OE}$，$\tan\angle SFO=\frac{OS}{OF}$，得$OD = OE = OF$，所以$O$是$\triangle ABC$的内心.

4. “应县木塔”坐落在山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内,如图1,其最高处的塔刹下部可以近似看成一个正六棱锥.如图2,已知正六棱锥的高为$h$,其侧面与底面夹角为$45^{\circ }$,则六棱锥的体积为 (C)


A.$\frac{\sqrt{3}}{2}h^{3}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}h^{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}h^{3}$
D.$2\sqrt{3}h^{3}$

答案：
4.C 如图，取$CD$的中点$G$，连接$OG$，$SG$.由$S - ABCDEF$为正六棱锥，易得$SG\perp CD$，$OG\perp CD$，则$\angle SGO$为侧面$SCD$与底面$ABCDEF$的夹角，所以$\angle SGO = 45^{\circ}$.又$SO\perp$底面$ABCDEF$，$OG\subset$底面$ABCDEF$，所以$SO\perp OG$，所以$SO = OG = h$.又底面$ABCDEF$为正六边形，所以$\triangle COD$为等边三角形，所以$DG = OG\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}h$，故$CD = 2DG=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$，则$S_{\triangle COD}=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}h× h=\frac{\sqrt{3}}{3}h^{2}$，所以$S_{六边形ABCDEF}=6S_{\triangle COD}=2\sqrt{3}h^{2}$，所以六棱锥的体积$V=\frac{1}{3}S_{六边形ABCDEF}· h=\frac{2\sqrt{3}}{3}h^{3}$.

5. 如图,四边形$ABCD$是正方形,$PA⊥$平面$ABCD$,且$PA = AB = 2$,则二面角$B - PD - A$的正弦值为 (B)

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案：
5.B 解法1(定义法) 连接$BD$，依题意得$PA = AD = 2$，$PB = BD = 2\sqrt{2}$，即$\triangle PAD$为等腰三角形，$\triangle PBD$为等边三角形.取$PD$的中点$E$，连接$AE$，$BE$，则$AE\perp PD$，$BE\perp PD$，所以$\angle BEA$为二面角$B - PD - A$的平面角.因为$PA\perp$平面$ABCD$，$AB\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp AB$，又四边形$ABCD$是正方形，所以$AD\perp AB$，又$PA\cap AD = A$，所以$AB\perp$平面$PAD$，又$AE\subset$平面$PAD$，所以$AB\perp AE$.在$Rt\triangle BAE$中，$AE=\frac{1}{2}PD=\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{6}$，所以$\sin\angle BEA=\frac{AB}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
解法2(三垂线法) 因为$PA\perp$平面$ABCD$，$AB\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp AB$，又四边形$ABCD$是正方形，所以$AD\perp AB$，又$PA\cap AD = A$，所以$BA\perp$平面$PAD$，即过点$B$向平面$PAD$作垂线，垂足就是$A$，再过点$A$作$AE\perp PD$，垂足为$E$，连接$BE$，由三垂线定理得$BE\perp PD$，所以$\angle BEA$为二面角$B - PD - A$的平面角.在$Rt\triangle BAE$中，$AB = PA = AD = 2$，$AE=\frac{1}{2}\sqrt{PA^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{6}$，所以$\sin\angle BEA=\frac{AB}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
解法3(面积射影法) 连接$BD$，依题意得$PA = AD = 2$，$PB = BD = 2\sqrt{2}$，即$\triangle PAD$为等腰三角形，$\triangle PBD$为等边三角形.因为$PA\perp$平面$ABCD$，$AD\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp AD$.平面$PAD$是平面$PBD$在平面$PAD$上的投影，又$S_{\triangle PAD}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle PBD}=\frac{1}{2}×(2\sqrt{2})^{2}\sin60^{\circ}=2\sqrt{3}$，设二面角$B - PD - A$所成角为$\theta$，所以由面积射影公式，得$\cos\theta=\frac{S_{投影}}{S_{斜面}}=\frac{S_{\triangle PAD}}{S_{\triangle PBD}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\sin\theta=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
方法总结 求二面角大小的常用方法：
1.定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角，当两条垂线的垂足相同时，求二面角就相当于求两条异面直线的夹角.
2.三垂线法：在其中一面内找点$A$，作另一面的垂线$AB$，垂足为$B$，过$B$作交线的垂线$BC$，连接$AC$，由三垂线定理，$\angle ACB$就是二面角的平面角，再在$Rt\triangle ACB$中求解.
3.面积射影法：凡二面角的图形中含有可求原题图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的，可利用射影面积公式$\cos\theta=\frac{S_{投影}}{S_{斜面}}$，求二面角的大小.此法最适合无棱的二面角.

6. 已知圆锥的顶点为$S$,$O$为底面圆心,母线$SA$,$SB$互相垂直且$△SAB$的面积为2,直线$SA$与圆锥底面所成角为$\frac{\pi}{6}$,则二面角$S - AB - O$的大小为 (C)

A.$\frac{\pi}{12}$
B.$\frac{\pi}{6}$
C.$\frac{\pi}{4}$
D.$\frac{\pi}{3}$

答案：
6.C 如图，取$AB$的中点$E$，连接$OE$，$SE$.因为$SA = SB$，所以$SE\perp AB$.由垂径定理可得$OE\perp AB$，所以二面角$S - AB - O$的平面角为$\angle SEO$.因为$SO\perp$平面$OAE$，$OE\subset$平面$AOE$，所以$SO\perp OE$.因为$SA\perp SB$，$SA = SB$，所以$\triangle SAB$为等腰直角三角形，$S_{\triangle SAB}=\frac{1}{2}SA^{2}=2$，则$SA = SB = 2$，$AB = 2\sqrt{2}$，$SE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$.由$SO\perp$平面$OAE$，知$\angle SAO$为直线$SA$与圆锥底面所成的角，即$\angle SAO=\frac{\pi}{6}$，则在$Rt\triangle SAO$中，$\sin\angle SAO=\frac{SO}{SA}=\frac{SO}{2}=\frac{1}{2}$，故$SO = 1$，所以$\sin\angle SEO=\frac{SO}{SE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.因为$0\leq\angle SEO\leq\frac{\pi}{2}$，所以$\angle SEO=\frac{\pi}{4}$，即二面角$S - AB - O$的大小为$\frac{\pi}{4}$.