《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

9. 设 $ M $ 是 $ \triangle ABC $ 所在平面内一点,则下列说法正确的是 (ACD)

A.若 $ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $,则点 $ M $ 是 $ BC $ 的中点
B.若 $ \overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM} $,则点 $ M $ 是 $ \triangle ABC $ 的重心
C.若 $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} $,则 $ M,B,C $ 三点共线
D.若 $ \overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $,则 $ \overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $

答案：
9. ACD 对于 A，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE}$，若 $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$，易得 $M$ 为 $BC$ 的中点，所以 A正确.

对于 B，若 $M$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，则满足 $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = 0$，即 $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{CM}$，所以 B错误；对于 C，由 $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$，可得 $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$，即 $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CB}$，所以 $M,B,C$ 三点共线，所以 C正确；对于 D，如图所示，由 $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，可得 $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，所以 D正确.

10. 在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ D $ 是边 $ AB $ 上一点, $ \overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda\overrightarrow{CB} $,若 $ \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB} $,则 $ \lambda = $$\frac{2}{3}$.

答案：
10. $\frac{2}{3}$ 如图，$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD}$ ①，$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$ ②，且 $\overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{BD} = 0$. ① + ② $× 2$ 得 $3\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{CB}$，所以 $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，所以 $\lambda = \frac{2}{3}$.

方法总结 求向量线性关系式中的参数，先利用向量的加减，数乘运算将目标向量的表达式求出，再比较系数，得到含参的方程(组)解决.

11. 已知 $ a $ 与 $ b $ 为非零向量, $ \overrightarrow{OA}=a + b,\overrightarrow{OB}=2a - b,\overrightarrow{OC}=\lambda a+\mu b $,若 $ A,B,C $ 三点共线,则 $ 2\lambda+\mu = $3.

答案： 11. 3 由题意知 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC} = (\lambda - 2)\boldsymbol{a} + (\mu + 1)\boldsymbol{b}$，又由 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ 共线，故不妨设 $\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{AB}$，则 $\begin{cases}k = \lambda - 2,\\-2k = \mu + 1,\end{cases}$ 解得 $2\lambda + \mu = 3$.

12. “赵爽弦图”是中国古代数学的图腾,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照赵爽弦图,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形,其中 $ E,F,G,H $ 分别是 $ DF,AG,BH,CE $ 的中点,若 $ \overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD} $,则 $ xy = $$\frac{8}{25}$.

答案： 12. $\frac{8}{25}$ 由题 $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CH}) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{CE}$，因为 $EFGH$ 是平行四边形，所以 $\overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{CE}$，所以 $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AG}$，即 $\overrightarrow{AG} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{BC} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AD}$，所以 $x = \frac{4}{5}$，$y = \frac{2}{5}$，则 $xy = \frac{4}{5} × \frac{2}{5} = \frac{8}{25}$.

13. 已知 $ O $ 是线段 $ AB $ 外一点,且 $ \overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b $.
(1)设点 $ G $ 是 $ \triangle OAB $ 的重心,证明: $ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(a + b) $;
(2)设点 $ A_1,A_2 $ 是线段 $ AB $ 的三等分点, $ \triangle OAA_1,\triangle OA_1A_2 $ 及 $ \triangle OA_2B $ 的重心依次为 $ G_1,G_2,G_3 $,试用向量 $ a,b $ 表示 $ \overrightarrow{OG_1}+\overrightarrow{OG_2}+\overrightarrow{OG_3} $.

答案： 13.
(1) 证明：设 $AB$ 的中点为 $E$，则 $\overrightarrow{OG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3} × \frac{1}{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \frac{1}{3}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$.
(2) 解：由
(1) 可知 $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA_1})$，$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA})$，$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$，所以 $\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \frac{2}{3}[\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) + \boldsymbol{a} + \frac{2}{3}(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a})] = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$.

14. 已知 $ a,b,e $ 是同一平面上的向量,其中 $ e $ 是单位向量,非零向量 $ a $ 与 $ e $ 的夹角为 $ \frac{\pi}{3} $,向量 $ b $ 满足 $ |b - 2e|=1 $,则 $ |a - b| $ 的最小值是$\sqrt{3} - 1$.

答案：
14. $\sqrt{3} - 1$ 如图，设 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OE} = \boldsymbol{e}$，$\overrightarrow{OF} = 2\boldsymbol{e}$. 由题得 $|\overrightarrow{OE}| = 1$，$|\overrightarrow{OF}| = 2$，$\angle \overrightarrow{EOA} = \frac{\pi}{3}$，则 $|\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{e}| = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OF}| = |\overrightarrow{FB}| = 1$，所以点 $B$ 在以 $F$ 为圆心，$1$ 为半径的圆上，点 $A$ 在射线 $OP$ 上，且 $\angle FOP = \frac{\pi}{3}$. 又 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{BA}|$，易知 $|\overrightarrow{BA}|$ 的最小值为点 $F$ 到射线 $OP$ 的距离减去半径，而点 $F$ 到射线 $OP$ 的距离为 $\overrightarrow{OF} · \sin\frac{\pi}{3} = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，所以 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{3} - 1$.

第六章 平面向量及其应用
核心笔记
1. 用已知向量表示未知向量的求解思路：先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量. 当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.(练习运用：第3题、第5题、第6题、第8题)
2. $\lambda\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \neq 0)$ 的几何意义就是把向量 $\boldsymbol{a}$ 沿着 $\boldsymbol{a}$ 的方向或反方向扩大或缩小为原来的 $|\lambda|$ 倍. 向量 $\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ 表示与向量 $\boldsymbol{a}$ 同向的单位向量.(练习运用：第4题、第7题)
3. 有关三点共线，通常转化为三点构成的其中两个向量共线.(练习运用：第4题、第11题)