《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 已知 $ \boldsymbol{e}_1 $ 和 $ \boldsymbol{e}_2 $ 是平面内所有向量的一组基底，那么下列四组向量不可以作为一组基底的是(C)

A.$ \boldsymbol{e}_1 $ 和 $ \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 $
B.$ \boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2 $ 和 $ \boldsymbol{e}_2 - 2\boldsymbol{e}_1 $
C.$ \boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2 $ 和 $ 4\boldsymbol{e}_2 - 2\boldsymbol{e}_1 $
D.$ \boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2 $ 和 $ \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 $

答案： 1. C 因为$\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}=-\frac{1}{2}(4\boldsymbol{e}_{2}-2\boldsymbol{e}_{1})$，所以$(\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}) // (4\boldsymbol{e}_{2}-2\boldsymbol{e}_{1})$，所以该组向量不能作为基底.

2. 设 $ \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 $ 为一组基底，且 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{b} = \boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{c} = 2\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2 $，则用 $ \boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 表示 $ \boldsymbol{a} $ 的式子为(C)

A.$ -\frac{1}{7}\boldsymbol{b} + \frac{3}{7}\boldsymbol{c} $
B.$ \frac{1}{7}\boldsymbol{b} - \frac{3}{7}\boldsymbol{c} $
C.$ \frac{1}{7}\boldsymbol{b} + \frac{3}{7}\boldsymbol{c} $
D.$ -\frac{1}{7}\boldsymbol{b} - \frac{3}{7}\boldsymbol{c} $

答案： 2. C 设$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}+\mu\boldsymbol{c}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$，则$\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}=\lambda(\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2})+\mu(2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2})=(\lambda + 2\mu)\boldsymbol{e}_{1}+(3\mu - 2\lambda)\boldsymbol{e}_{2}$. 由于$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$为基底，所以$\begin{cases}\lambda + 2\mu = 1,\\3\mu - 2\lambda = 1,\end{cases}$得$\begin{cases}\lambda = \frac{1}{7},\\\mu = \frac{3}{7}.\end{cases}$所以$\boldsymbol{a}=\frac{1}{7}\boldsymbol{b}+\frac{3}{7}\boldsymbol{c}$.

3. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ E $ 是 $ AC $ 的中点，$ \overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC} $，则点 $ P $ 在直线 $ BE $ 上的一个充分条件是(A)

A.$ x = \frac{2}{3},y = \frac{1}{6} $
B.$ x = \frac{1}{3},y = -\frac{2}{3} $
C.$ x = -1,y = 2 $
D.$ x = \frac{1}{2},y = \frac{2}{3} $

答案： 3. A 因为$E$是$AC$的中点，所以$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$，故$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+2y\overrightarrow{AE}$.又点$P$在直线$BE$上，即$B$，$P$，$E$三点共线，所以$x + 2y = 1$，四个选项中，只有$x = \frac{2}{3},y = \frac{1}{6}$符合，其他选项不正确.

4. (教材变式)在 $ \triangle ABC $ 中，边 $ BC $ 上的中线为 $ AD $，点 $ O $ 满足 $ \overrightarrow{AO} = 3\overrightarrow{OD} $，则 $ \overrightarrow{OB} = $(C)

A.$ -\frac{3}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{AC} $
B.$ -\frac{3}{8}\overrightarrow{AB} - \frac{5}{8}\overrightarrow{AC} $
C.$ \frac{5}{8}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{8}\overrightarrow{AC} $
D.$ -\frac{5}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{AC} $

答案：
4. C 如图所示，由$\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{OD}$可得$\overrightarrow{AO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{4}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$.
　　　　　
教材链接人教A版必修二6.3.1练习第3题改编

5. 已知 $ \triangle ABC $ 的重心为 $ G $，内角 $ A,B,C $ 的对边分别为 $ a,b,c $. 若 $ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + \frac{\sqrt{2}}{2}c\overrightarrow{GC} = \boldsymbol{0} $，则 $ \triangle ABC $ 的形状是(D)

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

答案： 5. D 因为$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+\frac{\sqrt{2}}{2}c\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$，所以$\overrightarrow{GC}=-\frac{\sqrt{2}a}{c}\overrightarrow{GA}-\frac{\sqrt{2}b}{c}\overrightarrow{GB}$.又由题意知$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$，即$\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}$，由平面向量基本定理可得$\frac{\sqrt{2}a}{c}=\frac{\sqrt{2}b}{c}=1$，则$\sqrt{2}a=\sqrt{2}b = c$，即$a:b:c = 1:1:\sqrt{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，且$a = b$，故$\triangle ABC$是等腰直角三角形.

6. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DC} $，$ P $ 是直线 $ BD $ 上的点，若 $ \overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} $，则实数 $ t $ 的值为(B)

A.$ -\frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ -\frac{2}{3} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 6. B 因为$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{AC}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AD}$，又$P$是直线$BD$上一点，所以设$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+(1 - x)\overrightarrow{AD}$，又$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，所以$\begin{cases}x = t\\1 - x = \frac{2}{3}\end{cases}$，解得$t = \frac{1}{3}$.
方法总结 向量三点共线（爪形图）定理：若平面内四点$O$，$A$，$B$，$C$（点$O$不在直线$AB$上），满足$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则$A$，$B$，$C$三点共线的充要条件是$\lambda+\mu = 1$.特别地，在爪形图中，若$AC:CB=\lambda:\mu$，则$\overrightarrow{OC}=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\overrightarrow{OA}+\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\overrightarrow{OB}$.

7. 若 $ \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 $ 是平面 $ \alpha $ 内两个不共线的非零向量，则下列选项正确的是(BCD)

A.平面 $ \alpha $ 内存在向量不能表示为“$ \lambda\boldsymbol{e}_1 + \mu\boldsymbol{e}_2 (\lambda,\mu \in \mathbf{R}) $”的形式
B.对于平面 $ \alpha $ 内的任意向量 $ \boldsymbol{a} $，有且仅有一个实数对 $ (\lambda,\mu) $，使得使 $ \boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{e}_1 + \mu\boldsymbol{e}_2 $
C.若共线的非零向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $ 满足 $ \boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \mu_1\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{b} = \lambda_2\boldsymbol{e}_1 + \mu_2\boldsymbol{e}_2 $，则存在实数 $ \lambda $，使得 $ \lambda_1 + \mu_1 = \lambda(\lambda_2 + \mu_2) $
D.若实数 $ \lambda,\mu $ 满足 $ \lambda\boldsymbol{e}_1 + \mu\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{0} $，则 $ \lambda = \mu = 0 $

答案： 7. BCD 对于A，由平面向量基本定理，如果$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$是平面$\alpha$内两个不共线的向量，那么这一平面内任一向量$\boldsymbol{a}$，有且只有一对实数$\lambda_{1},\lambda_{2}$，使得$\boldsymbol{a}=\lambda_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\lambda_{2}\boldsymbol{e}_{2},\lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbf{R}$，可知平面$\alpha$内不存在向量不能表示为“$\lambda\boldsymbol{e}_{1}+\mu\boldsymbol{e}_{2}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$”的形式，故A错误；对于B，由平面向量基本定理可知，平面内的基底确定，则该平面内的任一个向量在此基底下的实数对是唯一确定的，故B正确；对于C，若非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共线，所以存在唯一实数$\lambda\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$，即存在$\lambda\in\mathbf{R}$，使得$\lambda_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\mu_{1}\boldsymbol{e}_{2}=\lambda(\lambda_{2}\boldsymbol{e}_{1}+\mu_{2}\boldsymbol{e}_{2})$，根据向量相等的条件，可得$\lambda_{1}+\mu_{1}=\lambda(\lambda_{2}+\mu_{2})$，故C正确；对于D，若实数$\lambda,\mu$不全为零，不妨设$\lambda\neq0$，则由$\lambda\boldsymbol{e}_{1}+\mu\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{0}$，可得$\boldsymbol{e}_{1}=-\frac{\mu}{\lambda}\boldsymbol{e}_{2}$，即$\boldsymbol{e}_{1}$与$\boldsymbol{e}_{2}$共线，与已知矛盾，故$\lambda = 0,\mu = 0$，故D正确.

8. 在平行四边形 $ ABCD $ 中，设 $ \overrightarrow{AQ} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AD} $，其中 $ \lambda,\mu \in [0,1] $，则下列命题为真命题的是(BCD)

A.当 $ \lambda = 1 $ 时，点 $ Q $ 在线段 $ DC $ 上
B.当点 $ Q $ 在线段 $ AC $ 上时，$ \lambda = \mu $
C.当 $ \lambda + \mu = 1 $ 时，点 $ Q $ 在对角线 $ BD $ 上
D.当 $ 3\lambda + \mu = \frac{1}{2} $ 时，点 $ Q $ 在某线段上运动

答案：
8. BCD 对于A，当$\lambda = 1$时，$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}$，则$\mu\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BQ}$，点$Q$在线段$BC$上，A错误；对于B，当点$Q$在线段$AC$上时，存在实数$m\in[0,1]$，使得$\overrightarrow{AQ}=m\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AD}$，因此$\lambda=\mu = m$，故B正确；对于C，当$\lambda+\mu = 1$时，由$\overrightarrow{AQ}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}$可知$B$，$D$，$Q$三点共线，又$\lambda,\mu\in[0,1]$，故点$Q$在对角线$BD$上，C正确；对于D，如图，在边$AB$，$AD$上分别取$M$，$N$，使得$\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}$，则$\overrightarrow{AQ}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}=6\lambda\overrightarrow{AM}+2\mu\overrightarrow{AN}$，当$3\lambda+\mu=\frac{1}{2}$时，$6\lambda + 2\mu = 1$，故$Q$，$M$，$N$三点共线，由$\lambda,\mu\geqslant0$，可知此时$6\lambda,2\mu\in[0,1]$，因此点$Q$在线段$NM$上运动，D正确.